Convergence

Sophie.smiit · October 2018

Bonjour

Pouvez-vous m’expliquer pourquoi e^{-n^1/2ln(2)} converge ?
Dans la correction, on utilise la règle « n^bU_n —> 0 quand n-> +oo et b > 1 mais je ne vois pas comment elle a pu être appliquée dans mon cas.

Merci d’avance.

Magnolia · October 2018

Bonjour

Je suppose que tu parles de la série.
Par exemple en prenant $b=2$ (ou n'importe quel $b> 1$)

Sophie.smiit · October 2018

Mais dans mon cas mon b vaut 1/2 donc devrait diverger ?

Magnolia · October 2018

Mais pourquoi veux-tu que $b$ vaille 1/2?
On a bien
$\lim_{n\to +\infty}\dfrac{n^2}{e^{\sqrt n\ln(2)}}=0$

la seule chose à préciser c'est que $\ln(2) > 0.$

Sophie.smiit · October 2018

Mais le fait que la limite vaut zéro n’implique pas que la série converge.
Je suis d’accord que la limite vaut 0 mais comment explique-t-on que cela implique que la série converge ?

Magnolia · October 2018

C'est le critère que tu cites dans ton énoncé.
Pour une série $\sum u_n$ à termes positifs, s'il existe un réel $b>1$ tel que $\lim_{n\to +\infty}n^bu_n=0$ alors la série $\sum u_n$ converge.

J0ke · October 2018

Hello,

Comme $\displaystyle\lim_{n\to +\infty} n^2u_n = 0$, il existe un rang à partir duquel $n^2u_n \le 1$ ou encore $u_n \le \frac{1}{n^2}$.
Par comparaison, la série converge.

Sous réserve que $u_n$ soit positif évidemment.

Sophie.smiit · October 2018

Ah j’ai compris ! Merci pour votre aide.

J’ai une autre question comment passe-t-on de n / (ln(n)^n-1) à n.ln(n)^n-1 ?

Poirot · October 2018

On ne le fait pas puisque c'est faux.

Sophie.smiit · October 2018

C’est bien ce que j’en je me disais.
Merci

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