Ambiguïté

ryadyat
ryadyat
dans Analyse
S'il vous plaît, peut-on dire que $\cos(x)$ est équivalente à $1+\frac 1 2 x^2$ puisque la limite du quotient vaut 1. J'ai lu que c'est faux, et je ne sais pas pourquoi. Merci infiniment.

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Lorsque $x$ tend vers $0$, c'est inutile mais c'est vrai. C'est aussi équivalent à $\frac{x+2}{3x+2}$ (toujours au voisinage de $0$), etc.
  • Amathoué
    Amathoué
    Bonjour,

    Par contre $1- \cos x \sim_0 \frac{x^2}{2}$ est vrai et intéressant.
  • AD
    AD
    Bonsoir Ryadyat
    Si $ x \neq 0$, alors $1+x^2$ est toujours strictement supérieur à $1$. C'est plutôt embêtant pour un cosinus ! Non ?
    Alain.
  • Poirot
    Poirot
    Et pourtant l'équivalent annoncé est correct.

    En fait si $f(x) \underset{x \to a}{\rightarrow} l$ avec $l \neq 0$, alors $$f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x)$$ pour toute fonction $g$ admettant la même limite en $a$ (et ne s'annulant par sur un voisinage de $a$) !
    .
    Donc on a même $$\cos(x) \underset{x \to 0}{\sim} \mathrm{e}^{\sin(\log(|\cos(\sqrt x)|))}$$ sans aucun calcul. B-)-
  • Math Coss
    Math Coss
    Bien sûr, $1+x^2$ n'est pas un cosinus mais ça n'empêche pas les fonctions $x\mapsto\cos x$ et $x\mapsto 1+x^2$ à être équivalentes, au sens où leur différence $\cos x-(1+x^2)$ est négligeable devant n'importe laquelle des deux lorsque $x$ tend vers $0$. Comme elles ne s'annulent pas au voisinage de $0$, le critère « le quotient tend vers $1$ » fonctionne aussi.
  • Dom
    Dom
    On voit plus souvent $1-\frac{x^2}{2}$, c'est dans ce sens que je comprends la remarque de AD, même s'il donne aussi une manière intuitive de se demander si c'est pertinent de "comparer" un cosinus à une autre fonction.

    Sinon, oui, tout ce qui tend vers $1$ fonctionne, comme cela a été dit.
  • AD
    AD
    Bonsoir
    Oui, Math Coss tu as raison... c'est pourquoi j'ai toujours préféré, quand c'est possible, les développements limités aux équivalents. On risque de faire trop de calculs, mais on ne risque pas de se tromper. Mais cette remarque est hors de la question posée ici.
    Alain :-)
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