En fait, tu va avoir deux "normes infinies" naturelles sur les polynômes :
Soit tu les vois "coté analyse" comme des fonctions, et dans ce cas, on va prendre une norme infinie comme celle que tu proposes
Soit tu les vois "coté algèbre" comme des suites finies, et dans ce cas, on va prendre la norme infinie comme le max des éléments de la suite (= les coefficients)
Si on caractérise un polynôme par ses coefficients, alors $\mathbb R_n[X]$ est identifiable (dans quel sens ?) à $\mathbb R^{n+1}$.
C'est un problème de terminologie. La norme (qualifiée usuellent de) infinie de $\mathbb R^{n+1}$ n'est pas la norme de la convergence uniforme, également appelée "infinie" dans un espace de fonctions bornées.
Merci pour vos réponses, j'y vois beaucoup plus clair.
En fait dans certains cas, c'est mieux de se ramener à un polynôme que l'on considère comme une suite.
Mais pourquoi a-t-on le droit de prendre le sup des coefficients ? Ce que je veux dire, c'est pourquoi les coefficients sont-ils comparables à des éléments d'une suite ?
Merci pour vos réponses, j'y vois beaucoup plus clair.
Visiblement non. Il s'agit de deux normes totalement différentes. Qui sont parfois appelées de la même façon (quand il n'y a pas de risque de confusion), mais elles n'ont rien à voir entre elles.
Un polynôme c'est un truc de la forme $\sum_{k=0}^n a_k X^k$. Formellement, en algèbre, c'est la suite finie $(a_0, a_1, \cdots a_n)$. Ou, si tu préfères, les polynômes de degré n, c'est pareil que des vecteurs de taille n+1. Donc tu peux définir sur les polynômes des normes analogues à celles sur les vecteurs.
Mais les polynômes sont aussi des fonctions, donc tu peux définir dessus des normes habituelles de fonctions.
Les polynômes "sont" des suites presque nulles, c'est à dire nulles à partir d'un certain rang.
Ainsi, le $\sup$ existe.
Remarque : on a aussi que la série de terme général "les coefficients du polynôme" converge puisqu'on a un nombre de terme fini (en ne comptant pas les termes nuls).
Réponses
Soit tu les vois "coté analyse" comme des fonctions, et dans ce cas, on va prendre une norme infinie comme celle que tu proposes
Soit tu les vois "coté algèbre" comme des suites finies, et dans ce cas, on va prendre la norme infinie comme le max des éléments de la suite (= les coefficients)
C'est un problème de terminologie. La norme (qualifiée usuellent de) infinie de $\mathbb R^{n+1}$ n'est pas la norme de la convergence uniforme, également appelée "infinie" dans un espace de fonctions bornées.
En fait dans certains cas, c'est mieux de se ramener à un polynôme que l'on considère comme une suite.
Mais pourquoi a-t-on le droit de prendre le sup des coefficients ? Ce que je veux dire, c'est pourquoi les coefficients sont-ils comparables à des éléments d'une suite ?
Aussi, P. nous a fourni un contre-exemple non ?
Visiblement non. Il s'agit de deux normes totalement différentes. Qui sont parfois appelées de la même façon (quand il n'y a pas de risque de confusion), mais elles n'ont rien à voir entre elles.
Un polynôme c'est un truc de la forme $\sum_{k=0}^n a_k X^k$. Formellement, en algèbre, c'est la suite finie $(a_0, a_1, \cdots a_n)$. Ou, si tu préfères, les polynômes de degré n, c'est pareil que des vecteurs de taille n+1. Donc tu peux définir sur les polynômes des normes analogues à celles sur les vecteurs.
Mais les polynômes sont aussi des fonctions, donc tu peux définir dessus des normes habituelles de fonctions.
Ainsi, le $\sup$ existe.
Remarque : on a aussi que la série de terme général "les coefficients du polynôme" converge puisqu'on a un nombre de terme fini (en ne comptant pas les termes nuls).