Développements limités

Tu ne veux pas plutôt dire que c'est $(x-a)$ qui doit être dans $]-u,v[$ ?

EDIT : Ça m'embrouille un peu, parce que tu sembles sous-entendre que c'est ma définition de $f = o_a (g)$ qui contient un erreur, alors que les différentes sources que je trouve pour cette définition disent la même chose.

Merci Poirot, jette un oeil au EDIT que j'ai mis dans le message que j'ai posté juste avant le tien... si ma définition de $f = o_a (g)$ est la bonne, et il semble que c'est le cas, il faut bien qu'il y ait une erreur dans la définition de DL en $a$...

Oui, c'est $(x-a)$ qui doit être entre $u$ et $v$.

En fait, le souci c'est que dans la définition de la notation $o$ de mon livre, il y a un quantificateur "pour tout $x$ dans l'intersection machin..." et c'est pour être cohérent avec cette définition qu'il faut prendre un $o_a$ et pas un $o_0$ quand on définit les DL, sinon ça donne des situations $\forall x \in \varnothing$ qui ne servent à rien.

Merci les gens :-)

(Message édité)

J'ai une autre petite question sur le même thème...

Quand on veut calculer des limites, souvent on procède par équivalents parce que si $f$ est équivalente à $g$ en $x_0$, et que $g$ tend vers $L$ en $x_0$, alors $f$ tend aussi vers $L$ en $x_0$. Ça c'est un théorème que j'ai dans mes bouquins, donc c'est bien (d'ailleurs je ne l'ai pas écrit dans tous les détails, mais j'ai seulement mis la "partie pratique").

Dans la pratique, justement, si une fonction $f$ admet un DL en $x_0$, on va remplacer $f(x)$ par la partie polynomiale $P(x - x_0)$ de son DL en $x_0$ pour calculer la limite de $f$ en $x_0$. Remarque que je ne dois pas oublier : on calcule le DL à un ordre suffisamment élevé pour que la partie polynomiale soit non nulle ! Ça semble sous-entendre que $f$ est équivalente à $P(x - x_0)$ au voisinage de $x_0$, mais c'est un résultat dont je ne trouve ni démonstration, ni même mention où que ce soit. Ça a l'air d'être tellement évident pour les auteurs des cours d'analyse qu'ils ne l'écrivent nulle part avant de s'en servir à outrance, or, j'ai du mal à l'écrire formellement :-S

Je fixe les notations. On se donne $x_0 \in \mathbb{R}$, $I = ]x_0 -a ; x_0 +a[$ un voisinage ouvert de $x_0$ et $f : I \longrightarrow R$ une application définie sur $I$. On suppose que $f$ admet un DL d'ordre $n$ au voisinage de $x_0$, c'est-à-dire, on suppose qu'il existe un polynôme $P_n$ de degré $n$ (non nul !) tel que :

$f(x) - P_n(x - x_0) \in o_{x_0}((x-x_0)^n)$

J'ai l'impression, donc, que ça veut dire que $f(x)$ et $P_n(x-x_0)$ sont équivalents au voisinage de $x_0$, ce qui est défini dans mon bouquin par :

$f(x) - P_n(x - x_0) \in o_{x_0}(P_n(x - x_0))$

Avec des quantificateurs, je veux démontrer que sous l'hypothèse

$\forall \epsilon > 0$, $\exists \eta > 0$, $\forall x \in I$ : $|x - x_0| < \eta \Longrightarrow |f(x) - P_n(x-x_0)| \leqslant \epsilon|x - x_0|^n$

On a :

$\forall \epsilon > 0$, $\exists \eta ' > 0$, $\forall x \in I$ : $|x - x_0| < \eta ' \Longrightarrow |f(x) - P_n(x-x_0)| \leqslant \epsilon |P_n(x - x_0)|$

Une condition suffisante pour ceci serait qu'il existe $\eta ' \leqslant \eta$ tel que pour $|x-x_0| < \eta '$, on ait $|x - x_0|^n \leqslant \delta |P_n(x-x_0)|$ pour un certain $\delta > 0$.

Autrement dit, ou plutôt pour simplifier les notations, on veut que pour $|y| < \eta '$, on ait $|y|^n \leqslant \delta |P_n(y)|$.

Maintenant, $P_n$ est un polynôme de degré $n \in \mathbb{N}^*$, donc on va avoir $P_n(y) = a_0 + a_1y + ... + a_n y^n$, avec $a_n \neq 0$.

En supposant que je n'ai pas écrit de bêtises pour l'instant, j'ai un peu de mal à trouver comment continuer. Si $P_n$ admet une racine dans $]- \eta ' ; \eta '[$ on va avoir un problème, sinon je pensais m'en sortir avec des inégalités triangulaires mais j'ai l'impression que ça ne marche pas... j'aimerais un coup de main. Soit pour finir ce que j'ai fait (si ce n'est pas faux, bien sûr), soit pour me donner une méthode plus simple... mais avant tout, j'aimerais confirmation que le résultat que j'essaie de démontrer ($f$ équivalente à son DL au voisinage de $x_0$) est effectivement vrai ! Sinon, qu'on m'explique pourquoi on utilise les DL pour calculer des limites, parce que dans mes quelques centaines de pages de cours d'analyse réelle, ce n'est justifié nullé part.

J'étais en train de me dire, justement... admettons qu'on soit dans un cas super pathologique où tous les coefficients de $P_n$ sont nuls sauf $a_n$. Donc $P_n(x) = a_n x^n$ avec $a_n \neq 0$. Dans ce cas, il n'y a pas de raison que $h^n$ soit négligeable devant $P_n$, si ?

Si $P_n$ admet un terme non nul de degré inférieur strictement à $n$, ton argument va marcher me semble-t-il sauf si $P_n$ admet une racine dans le voisinage de $x_0$ sur lequel on travaille, il me semble. Ça ne va pas poser problème ?

Oui c'est vrai. Bon ben je m'en vais m'écrire tout ça (:D Merci !