Exercice de TS - fonctions
Bonjour,
je me trouve face à l'exercice suivant, de niveau censément terminale S.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{(ax^2+x+1)^4}$ où $a$ désigne un réel supérieur à $1$.
1. Montrer que pour tout réel $x$, $x^4-1=(x^2+1)(x-1)(x+1)$.
Facile moyennant une petite double distributivité d'un niveau de 4ème. Jusqu'ici, tout va bien .
2. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-4(2ax+1)}{(ax^2+x+1)^3}$.
Pour ma part, je trouve le même quotient au détail près d'une puissance $5$ au dénominateur, me trompé-je ?
3. Déterminer $a$ pour que la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan admette au point d'abscisse $1$ une tangente ayant pour équation $y=-20x+21$.
C'est là où le bât blesse : l'équation de ladite tangente étant $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ et moyennant la petite manipulation $y=-20x+21=-20(x-1)+1$, j'en déduis que cela revient à vérifier quelles conditions sur $a$ nous imposent les équations $f'(1)=-20$ et $f(1)=1$.
Je m'attaque d'abord à $f(1)=1$ puisqu'elle me paraît la moins méchante, or $f(1)=\dfrac{1}{(a+2)^4}$ donc (eurêka) cela revient à résoudre $X^4-1=0$ avec $X=\dfrac{1}{a+2}$, ce qui me permet d'utiliser la question 1 et d'en arriver à chercher la ou les valeurs de $a$, réel censément supérieur à $1$, tel que : $$
(\dfrac{1}{(a+2)^2}+1)(\dfrac{1}{a+2}-1)(\dfrac{1}{a+2}+1)=0.
$$Mais le gros souci, c'est qu'aucun réel plus grand que $1$ ne saurait annuler l'un des facteurs de ce produit, à moins que ma fatigue de jeune papa multirécidiviste ne me joue quelque vilain tour ?
Un grand merci d'avance à vous, bien cordialement,
Bernard
je me trouve face à l'exercice suivant, de niveau censément terminale S.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{(ax^2+x+1)^4}$ où $a$ désigne un réel supérieur à $1$.
1. Montrer que pour tout réel $x$, $x^4-1=(x^2+1)(x-1)(x+1)$.
Facile moyennant une petite double distributivité d'un niveau de 4ème. Jusqu'ici, tout va bien .
2. Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-4(2ax+1)}{(ax^2+x+1)^3}$.
Pour ma part, je trouve le même quotient au détail près d'une puissance $5$ au dénominateur, me trompé-je ?
3. Déterminer $a$ pour que la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan admette au point d'abscisse $1$ une tangente ayant pour équation $y=-20x+21$.
C'est là où le bât blesse : l'équation de ladite tangente étant $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ et moyennant la petite manipulation $y=-20x+21=-20(x-1)+1$, j'en déduis que cela revient à vérifier quelles conditions sur $a$ nous imposent les équations $f'(1)=-20$ et $f(1)=1$.
Je m'attaque d'abord à $f(1)=1$ puisqu'elle me paraît la moins méchante, or $f(1)=\dfrac{1}{(a+2)^4}$ donc (eurêka) cela revient à résoudre $X^4-1=0$ avec $X=\dfrac{1}{a+2}$, ce qui me permet d'utiliser la question 1 et d'en arriver à chercher la ou les valeurs de $a$, réel censément supérieur à $1$, tel que : $$
(\dfrac{1}{(a+2)^2}+1)(\dfrac{1}{a+2}-1)(\dfrac{1}{a+2}+1)=0.
$$Mais le gros souci, c'est qu'aucun réel plus grand que $1$ ne saurait annuler l'un des facteurs de ce produit, à moins que ma fatigue de jeune papa multirécidiviste ne me joue quelque vilain tour ?
Un grand merci d'avance à vous, bien cordialement,
Bernard
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Réponses
En ce qui me concerne, je trouve la même chose que toi partout. Du coup, si on oublie la condition $a>1$, ça donne $a=-1$ ou $a=-3$. Dans le premier cas, $f'(1)= 4$ et dans le second cas, $f'(1)=-20$. Il y a sûrement des erreurs dans l'énoncé.
un grand merci pour ta réponse !
Et en effet, si $a=-3$, je trouve $f'(1)=-20$ tout comme toi . Donc l'énoncé est erroné, sans nul doute.
Bien cordialement,
Bernard
J'aurais surtout tendance à dire que pour que $f$ soit définie sur $\R$ il faut avoir $1-4a<0$...L'énoncé semble bien fumeux!
Vincent
PS pour $x^4-1$ via identités remarquables $x^4-1=(x^2+1)(x^2-1)=(x^2+1)(x+1)(x-1)$, mais être triplement jeune papa est un exploit qui use au delà de l'imagination !!!
@Bernard39 est ce que tu fais pas une erreur, quand tu dis ''....où $X = \dfrac{1}{a + 2}$'', ne serait ce pas '' ...où $X = a + 2$''
Pour $A\neq 0$, $\frac{1}{A}=1 \Longleftrightarrow A=1$.
@vincent83 : bien d'accord avec toi pour le discriminant. Il faudrait donc $a>\dfrac{1}{4}$, décidément cet exo est vraiment bien naze lol.
Pour l'identité remarquable, c'est bien ce que j'écrivais dans mon premier message, non ? (Et merci pour l'encouragement au papa qui sommeille en moi, ou du moins qui aimerait sommeiller plus souvent ^^).
@babsgueye : non non j'insiste bien sur le $\dfrac{1}{a+2}$, sauf erreur de ma part ?
@Amathoué : ta réponse est assez désobligeante vis-à-vis de babsgueye. Tu peux aller promener tes onomatopées méprisantes ailleurs, ça vaudra mieux (surtout que ta remarque est mathématiquement sans intérêt ici, si je ne m'abuse).
1) Résoudre dans $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ l’équation $(a+2)^4-1=0$ d’inconnue $a$ revient exactement à résoudre dans $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ l’équation $(\frac{1}{a+2})^4-1=0$ d’inconnue $a$.
2) Les modérateurs n’ont pas estimé que j’étais hors charte, sinon mon message aurait été modéré.
3) Lis un peu les interventions de cet intervenant...
4) Je continuerai à faire des onomatopées, ne t’en déplaise, et tes injonctions n’y changeront rien.
5) Bonne soirée.
6) Pfff.
Sinon je trouve que ce serait bien pour toi d'essayer de résoudre le problème sans la condition sur $a$.
Cordialement.