La fonction nulle (sans doute). Sinon, ce n'est pas facile d'en trouver des simples. Essaie de chercher (en dessinant le graphe) une fonction $C^1_c([0,T]), T>0$ puis $C^2_c([0,T]), T>0$... un polynôme est-il solution ? sinon, comment faire (qu'est-ce qui 'plus fort' qu'un polynôme) ?
L'exemple ultra-classique de fonction $\mathcal{C}^{\infty}$ à support compact est la fonction qui à $x$ associe $\exp \Big( \displaystyle \frac{-1}{1 - x^2} \Big)$ si $|x| < 1$, et $0$ sinon.
Elle est $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et son support est $[-1;1]$, il y a probablement moyen de la bidouiller un peu pour faire rentrer son support dans un $[0,T]$ ?
Réponses
La fonction nulle (sans doute). Sinon, ce n'est pas facile d'en trouver des simples. Essaie de chercher (en dessinant le graphe) une fonction $C^1_c([0,T]), T>0$ puis $C^2_c([0,T]), T>0$... un polynôme est-il solution ? sinon, comment faire (qu'est-ce qui 'plus fort' qu'un polynôme) ?
Elle est $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et son support est $[-1;1]$, il y a probablement moyen de la bidouiller un peu pour faire rentrer son support dans un $[0,T]$ ?