Théorème de Fourier Plancherel

Voici quelques clarifications :

1) Je te rappelle que dans un espace métrique $(X,d)$ (en fait, il suffit d'avoir une base dénombrable de voisinages), on a la propriété (dite séquentielle) suivante : si $ (Y, \tau)$ est un espace topologique, $f:X \to Y$ une fonction, $x_0 \in X$ et $l \in Y$ alors
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = l \iff \left( \text{ Pour toute suite } (x_n)_{n \in \N} \text{d'éléments de } X, \ \ \ x_n \underset{n \to \infty}{\to} x_0 \implies \lim_{n \to + \infty} f(x_n)=l \right)$$

En fait on peut montrer mieux, on peut remplacer la phrase

$$\text{ Pour toute suite } (x_n)_{n \in \N} \text{d'éléments de } X, \ \ \ x_n \underset{n \to \infty}{\to} x_0 \implies \lim_{n \to + \infty} f(x_n)=l$$

par

$$\text{Pour toute suite MONOTONE } (x_n)_{n \in \N} \text{d'éléments de } X, \ \ \ x_n \underset{n \to \infty}{\to} x_0 \implies \lim_{n \to + \infty} f(x_n)=l$$.

2) Dans ton cas, tu obtiens :
$$\text{Pour toute suite MONOTONE } (\lambda_n)_{n \in \N} \text{d'éléments de } \mathbb{R}, \ \ \ \lambda_n \underset{n \to \infty}{\to} 0 \implies \lim_{n \to + \infty} \int_{\mathbb{R}}H(\lambda_n.t)\widehat{g}(t) dt = \int_{\mathbb{R}} |\widehat{f}(t)|^2 dt$$

3) Il ne te reste plus qu'à appliquer le théorème de convergence monotone à la suite de fonction définie par :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \ \forall t \in \mathbb{R}, F_n(t)= H(\lambda_n.t)\widehat{g}(t)$$