EDP et connexité

Bonjour à tous,

Soit $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^\ast\to\mathbb{R}$, telle que $f$ est solution de $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0$.

(En réalité j'obtiens ceci après changement de variables).

On a envie de dire que $f(x,y) = g(y)$ avec $g$ fonction $C^1$ sur $\mathbb{R}^\ast$.

Mais comme $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^\ast$ n'est pas connexe, ne faut-il pas dire que $f(x,y) = g_1(y)$ si $y\in \mathbb{R}_+$ et $f(x,y) = g_2(y)$ si $y\in \mathbb{R}_-$ ?

Merci,

Manu