Trigonométrie

Bonjour
quatre égalités que je trouve jolies.
Je poste ça ici car on utilise des dérivées.

Soient les deux fonctions réelles $f_A(x)=A\cos(vx+a)$ et $f_B(x)=B\cos(wx+b)$
avec $A>0$, $B>0$, $v>0$, $w>0$, $a\in \mathbb {R}$, $b\in \mathbb {R}$.
On note la fonction $f(x)=f_A(x)+f_B(x)$.

Quels que soient les réels $x_1$ et $x_2$ tels que $x_1\neq x_2$ et
$A^2-a_1^2>0$, $A^2-a_2^2>0$,
$B^2-b_1^2>0$, $B^2-b_2^2>0$,
avec $a_1=f_A(x_1)$, $a_2=f_A(x_2)$, $b_1=f_B(x_1)$, $b_2=f_B(x_2)$ .

Alors en posant
$p=f^{\prime}(x_1)$, $p_A=f_A^{\prime}(x_1)$, $p_B=f_b^{\prime}(x_1)$,
$q=f^{\prime}(x_2)$, $q_A=f_A^{\prime}(x_2)$, $q_B=f_b^{\prime}(x_2)$,
$R_p=p_A^2-p_B^2$, $R_q=q_A^2-q_B^2$,
$U_A=\dfrac {A^2-a_2^2}{A^2-a_1^2}$, $U_B=\dfrac {B^2-b_2^2}{B^2-b_1^2}$.

On vérifie toujours les quatre égalités.
$(q^2+R_q)^2-4q^2p_A^2U_A=0$, $(q^2-R_q)^2-4q^2p_B^2U_B=0$,
$(p^2+R_p)^2-\dfrac {4p^2q_A^2}{U_A}=0$, $(p^2-R_p)^2-\dfrac {4p^2q_B^2}{U_B}=0$.