Intégrale de Dirichlet via Feynman

Bonjour,

rohh quand ça ne veut pas... mille désolés, tu m'avais pourtant déjà dit que la fonction majorante ne devait pas être dépendante du paramètre. Je reprends pour l'existence de la fonction, ne suffit-il pas d'écrire, pour tout $y\in]a;+\infty[$ avec $a>0$

$$\left|\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} e^{-yx}\mathrm{d}x\right| \leq\int_0^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x} e^{-yx}\right|\mathrm{d}x \leq \int_0^{+\infty} e^{-yx}\mathrm{d}x \leq \int_0^{+\infty} e^{-ax}\mathrm{d}x =\frac{1}{a} < +\infty\qquad ?$$

Là ça devrait mieux tenir la route non ?
Cordialement,
Mister Da

Bonjour,

merci beaucoup pour votre patience... alors je rereprends : pour tout $y\in]a;+\infty[$ avec $a>0$ et pour tout $x\in\mathbb{R}^+$, nous pouvons écrire : $\left|\frac{\sin x}{x} e^{-yx}\right| \leq e^{-yx} \leq e^{-ax}$ et $\int_0^{+\infty} e^{-ax}\mathrm{d}x<+\infty$. A partir de maintenant, grâce au théorème de convergence dominée nous pouvons dire que la fonction $\bar{I}(y) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}e^{-yx}\mathrm{d}x$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$. Je n'ose même plus poser la question... est-ce (enfin) correct ?

Maintenant, il reste à dégager "*". Je sens que je n'ai pas fini de transpirer.

Cordialement,
MisterDa

Re bonjour,

je viens de faire l'éponge avec tous vos messages et également des documents sur internet. Je tente modestement une synthèse.


Nous souhaitons calculer la célèbre intégrale de Dirichlet $D = \int_0^{+\infty} \operatorname{sinc}(x)\mathrm{d}x$ avec $\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x}$ pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ et $\operatorname{sinc}(0)=1$.

Existence de $D$
En l'origine, il n'y pas de problème étant donné que la fonction y est continue. Ainsi, le sinus cardinal est intégrable sur n'importe quel intervalle $[0;\alpha]$ avec $\alpha \in \mathbb{R}^{+*}$. Pour voir ce qu'il se passe en $+\infty$, on considère $\beta\in\mathbb{R}^+$, $\beta > \alpha$ et une intégration par parties donne $$\int_\alpha^\beta\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x = -\left[\frac{\cos x}{x}\right]_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta \frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x.$$
En faisant tendre $\beta$ vers $+\infty$ le crochet tend vers $\frac{\cos\alpha}{\alpha}$ et la seconde intégrale tend vers $\int_\alpha^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2}\mathrm{d}x\in\mathbb{R}$ étant donné que $|\frac{\cos x}{x^2}|\leq \frac{1}{t^2}$ qui est intégrable. Nous venons de vérifier la convergence de l'intégrale, ainsi $D$ existe bel et bien.


Pour déterminer $D$, une technique (attribuée à Feynman) est d'introduire un paramètre $y\in]a;+\infty[$ avec $a\in\mathbb{R}^{+*}$ et de considérer l'intégrale paramétrée suivante (qui a la même ossature qu'une transformée de Fourier ou de Laplace) $$I(y) = \int_0^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x \qquad\text{avec}\quad f(x,y) = \operatorname{sinc}(x)\mathrm{e}^{-xy}.$$

Existence de $I$
Pour tout $y\in]a;+\infty[$ avec $a>0$ et pour tout $x\in\mathbb{R}^+$, nous pouvons écrire : $\left|\frac{\sin x}{x} \mathrm{e}^{-yx}\right| \leq \mathrm{e}^{-yx} \leq \mathrm{e}^{-ax}$ et $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-ax}\mathrm{d}x<+\infty$. A partir de maintenant, grâce au théorème de convergence dominée nous pouvons dire que la fonction $I$ est définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ (et donc sur $\mathbb{R}$ étant donné que $I(0) = D$ existe).

Existence de $I'$
La fonction $y\mapsto f(x,y)$ est dérivable sur $]a;+\infty[$ comme produit et composition de fonctions dérivables et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -x\frac{\sin x}{x}\mathrm{e}^{-xy} = -\sin x \mathrm{e}^{-xy}$. Cette quantité peut être majorée par $\left|\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right| \leq \mathrm{e}^{-xa}$ qui est intégrable. Ainsi la fonction $I$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$ de dérivée $I'(y) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \mathrm{d}x = -\frac{1}{1+y^2}$ en vertu du théorème de dérivation sous l'intégrale.

Conclusion
Les primitives sont du type $y\mapsto -\arctan y + c$. Pour trouver celle qui redonne exactement la fonction initiale on fait tendre $y\to+\infty$ ce qui permet d'obtenir $c = \frac{\pi}{2}$.

Ainsi $I(y) = -\arctan y + \frac{\pi}{2}$ pour tout $y\in\mathbb{R}^{+*}$ et $I(0) = D$ et donc $D = \lim_{y\to0}I(y) = \frac{\pi}{2}$.


Voilà, j’espère que ça tient un peu plus la route.

Si une personne a le courage de lire cette tartine, je lui serai très reconnaissant.
Cordialement,
Mister Da

Edit : mon dernier "donc" est bidon car j'ai supposé que $I$ est continue en $0$ mais je ne l'ai jamais démontré. Il y a encore de la route à faire, je verrai ça demain.
Edit2 : Correction de $\frac{1}{1+y}$ en $\frac{1}{1+y^2}$, merci Math Coss

Bonjour,
merci pour tous tes conseils. Effectivement, pour l'existence de $I$, il suffit d'écrire $|f(x,y)|\leq e^{-xy}$ qui est intégrable. Je me suis complétement mélangé les pinceaux. Pareil, pour la dérivée, il manque un carré sur le $y$, je vais éditer mon message.

Pour la limite $I(y)$ en l'infini, il faut écrire que d'une part $\lim_{y\to+\infty} I(y) = -\frac{\pi}{2} +c$ et d'autre part $|I(y)|\leq\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-xy}\mathrm{d}x = \frac{1}{y}$ qui tend vers $0$. On a donc $0=-\frac{\pi}{2} +c$. C'est ça ?

Je verrai la continuité demain car ça a l'air costaud.

Encore merci.
Cordialement,
Mister Da

Bonjour,

Ah oui, j'ai fait une majoration et non une domination. Ça marche quand même mais si j'avais néanmoins voulu faire une converge dominée, il aurait fallu écrire que pour tout $y>a>0$, $|\operatorname{sinc}(x)\mathrm{e}^{-xy}|\leq \mathrm{e}^{-xa}$ qui est intégrable et on enchaine avec $|I(y)|\leq \frac{1}{a}$ pour tout $y>a$ et on c'est $a$ que l'on fait tendre vers $+\infty$ ?

Concernant la continuité en $0$, pour résumer nous avons $I(y) = -\arctan(y) + \frac{\pi}{2}$ pour tout $y\in\mathbb{R}^{+*}$ et $I(0) = D$. Pour pour prouver la continuité nous devons montrer que $\lim_{y\to0^+} I(y) - I(0) = 0$ c'est ça ? En revenant aux expressions intégrales ceci est équivalent à montrer que
$$\lim_{y\to0^+} \int_0^{+\infty} \operatorname{sinc}(x)(\mathrm{e}^{-xy}-1)\mathrm{d}x = 0.$$
Est-ce bien cela ?

J'ai essayé de désosser l'animal naïvement en vain. Dois-je passer pas une intégration par parties et invoquer des théorèmes de type convergence dominée ou monotone pour pouvoir permuter les symboles "intégrale" et "limite" ?

Encore un grand merci pour votre patience, je sais que je suis lourd à tirer.

Cordialement,
Mister Da

Bonjour,

d'accord, merci pour la piste, je n'ai pas repensé à ton message dans lequel tu en parles. Finalement, j'aurais dû t'écouter et admettre tout ceci mais bon, maintenant que j'y suis...

Histoire de partir au moins dans la bonne direction, le plan de route est de montrer que la suite des $F_n$ qui sont continues sur $\mathbb{R}^+$ vérifie un (le ?) critère de Cauchy uniforme de manière à dire que cette suite converge uniformément sur $\mathbb{R}^+$ et donc la limite sera continue sur $\mathbb{R}^+$ et ça sera enfin gagné.

Pour cela nous devons montrer que $\forall\varepsilon>0, \exists N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ tel que $\forall n,p \geq N_\varepsilon, |F_n(y)-F_p(y)|<\varepsilon$ pour tout $y\in\mathbb{R}^+$. Est-ce bien cela ?

Cordialement,
Mister Da