Limite simple de polynômes
Bonjour
Soit $n$ un entier et $(P_k)$ une suite de polynômes à coefficients réels, tous de degrés plus petit que $n$. Supposons que pour tout réel $x$, $P_k(x)$ tendent vers un réel $P(x)$ quand $k$ tend vers l'infini. Est-ce que $P$ est un polynôme ?
(J'ai besoin de ce résultat qui doit être connu ou faux pour montrer un truc posé par un ami, et je n'ose pas lui demander cette étape de peur de passer pour une nouille. On peut supposer $P$ continu et que $x$ est pris non pas sur $\mathbb R$ mais un compact, même si je pense que ça ne doit pas changer grand chose^^)
Merci.
Soit $n$ un entier et $(P_k)$ une suite de polynômes à coefficients réels, tous de degrés plus petit que $n$. Supposons que pour tout réel $x$, $P_k(x)$ tendent vers un réel $P(x)$ quand $k$ tend vers l'infini. Est-ce que $P$ est un polynôme ?
(J'ai besoin de ce résultat qui doit être connu ou faux pour montrer un truc posé par un ami, et je n'ose pas lui demander cette étape de peur de passer pour une nouille. On peut supposer $P$ continu et que $x$ est pris non pas sur $\mathbb R$ mais un compact, même si je pense que ça ne doit pas changer grand chose^^)
Merci.
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Réponses
Soit $d\in\N$ et $E=\R_d[X]$.
1.
Soit $t=(t_0,...,t_d)$ un $(d+1)$-uplet de réels distincts.
Pour $P\in E$, on pose $N_t(P)=\sum_{k=0}^d |P(t_k)|$. Montrer que $N_t$ est une norme sur $E$.
2.
Pour $P\in E, \quad P=\sum_{k=0}^d a_kX^k$, on pose $N_{\infty}(P)=\max_k|a_k|$. Montrer que $N_{\infty}$ est une norme sur $E$.
3.
Soit $(P_n)$ une suite de polynômes de $E$. On note $P_n=\sum_{k=0}^da_{n,k}X^k$.
Montrer l'équivalence des assertions suivantes :
(a) La suite $(P_n)$ converge simplement sur $\R$.
(b) La suite $(P_n)$ converge uniformément sur tout segment de $\R$.
(c) Pour tout $k$, la suite $(a_{n,k})_n$ converge.
On note $f(x)=\lim_{k\to+\infty}P_k(x)$ pour tout réel $x$.
On choisit $x_0,...,x_n$ n+1 réels distincts.
On construit $P\in\R_n[X]$ tel que : $\forall i\in\{0,...n\}, P(x_i)=f(x_i)$.
Alors en utilisant la première norme de mon post précédent,
on voit que $(P_k)$ converge vers $P$ selon cette norme dans $\R_n[X]$.
Par équivalence des normes en dimension finie, $(P_k)$ converge uniformément vers $P$ sur tout compact de $\R$ (utiliser une norme intégrale),
donc en particulier il y a aussi convergence simple de $(P_k)$ vers $P$.
Donc $f=P$...
Très bien!
Par contre est-ce qu'on peut s'en sortir sans topologie... (comprendre au niveau l2 mp)
Cordialement.
Sans ces outils, je ne sais pas...
Bravo!
C'est ce que j'essayais de trouver.
Cordialement
oui, j'utilise les polynômes de Lagrange pour construire mon polynôme P.
Est-ce ce que tu veux dire, ou suggères-tu quelque chose qui permet de ne pas utiliser l'équivalence des normes ?
Écris ton polynôme dans cette base et observe comment la limite est forcément un polynôme !
[Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) prend toujours une majuscule. AD]
Merci !