La somme d'une série entière est holomorphe

Bonjour !

J'aurais besoin d'aide concernant la démonstration du fait que la somme $f(z) = \sum_{n=0}^{oo} a_n z^n$ d'une série entière de rayon de convergence $\rho$ est une fonction holomorphe dont la dérivée est donnée par $f'(z) = \sum_{n=1}^{oo} n a_n z^{n-1}$.

Une des démonstrations que j'ai consultée se trouve sur ce lien (page 9). J'ai un doute sur la fin de la démonstration. Je comprends que l'on souhaite montrer que la série de fonctions $\sum_{n=2}^{oo} a_n v_n(h)$ tend vers 0 lorsque $h$ tend vers 0.

J'aurais voulu savoir si ensuite, la conclusion était la suivante : puisqu'on est arrivé à majorer $| a_n v_n(h)|$ uniformément en $h$ sur $D(0;r-|z|)$ par le terme général d'une série convergente, on obtient donc la convergence normale (ce terme n'apparaît pas dans la démonstration que je vous ai indiquée, mais pourtant j'ai l'impression que c'est cela qu'on utilise) de la série de fonctions $\sum_{n=2}^{oo} a_n v_n(h)$ sur $D(0;r-|z|)$, donc également la convergence uniforme et donc que par le théorème de permutation des limites, puisque $v_n(h)$ tend vers $0$ lorsque $h$ tend vers 0, on obtient le résultat.
Est-ce bien une façon "rigoureuse" de terminer la démonstration ?

Je suis aussi étonné du fait que sur d'autres démonstrations de ce théorème que j'ai pu trouver, l'argument de la convergence normale n'apparaisse pas. Pourtant, ça me semble bien nécessaire.


Je vous remercie d'avance beaucoup pour votre aide !