Série et équivalents

srih · October 2018

Bonjour
Est-ce que je peux trouver une suite $u_r$ [qui] satisfait les conditions suivantes : $\quad u_r=o(r^{-2})$ et $$\sum_{i=r}^\infty u_i=O(r^{-3}) ,\quad r\in \mathbb{N}
$$ Merci d'avance.

Math Coss · October 2018

Oui (mais c'est triché) : $u_r=\frac1{2^r}$ pour tout $r$.

Plus sérieusement, pour $\alpha>1$, connais-tu un équivalent de $\sum_{i=r}^{+\infty}\frac{1}{i^\alpha}$ ?

srih · October 2018

Non, je connais pas.

Math Coss · October 2018

Comparaison série-intégrale ?

Saurais-tu comparer, pour $i$ entier naturel disons $\ge2$, les nombres $\int_{i}^{i+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}$, $\frac{1}{i^\alpha}$ et $\frac{1}{(i+1)^\alpha}$ ? Calcule alors le premier et somme sur $i$ de $r$ à l'infini.

srih · October 2018

Désolé du retard dans ma réponse, je n'ai pas pu me connecter à Internet.
Voulez-vous dire que
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
\sum_{i=r}^{\infty} \frac{1}{i^2} &=& \sum_{i=r}^{\infty}\int_{i}^{i+1}\frac{dt}{t^2} \\
&=& \sum_{i=r}^{\infty}[\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}] \\
&=& \left(\frac{1}{r} +\frac{1}{r+1}+\cdots+\frac{1}{r+n}+\ldots\right)-\left(\frac{1}{r+1}+\cdots+\frac{1}{r+n}+\ldots\right)\\
&=& \frac{1}{r}
\end{eqnarray*}

gerard0 · October 2018

Bonjour.

Appliquons ton calcul avec r=1 :
$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2}=\frac 1 1=1$
tu crois vraiment que
$1+\frac 1 4 + \frac 1 9 + ... =1$ ??

A priori, on ne perd pas grand chose à vérifier ses résultats !!!

Cordialement.

BobbyJoe · October 2018

La réponse est oui! Mais je te conseille de lire un cours sur les séries, plus précisément le point qui parle des comparaisons séries-intégrales...

Prend la suite $u$ définie par $$\forall k\geq 1,\mbox{ } u_{k}=\frac{1}{k^{4}}=o(k^{-2}).$$
On a alors (car j'ai horreur des constantes explicites) par une comparaison série-intégrale
$$\forall r \gg 1,\mbox{ } \sum_{i\geq r}u_{i}\lesssim \int_{r}^{+\infty}\frac{dt}{t^{4}}\lesssim r^{-3}.$$

Refais les calculs par toi-même pour t'entraîner!

srih · October 2018

Tellement je n’ai pas pu montrer cette implication, je suis en train d’écrire n’importe quoi, merci pour votre remarque gerard0.

srih · October 2018

merci

Math Coss · October 2018

Reprends ce message calmement : il est complètement faux mais il y a les ingrédients nécessaires. Sauf qu'il ne faut pas partir de $1/i^2$ qui n'est pas négligeable devant $1/i^2$ (d'évidence !). Prenons $\alpha=3$ alors.

Suggestion : fixe un entier $i$, encadre $\frac1{t^3}$ pour $t\in[i,i+1]$, intègre l'inégalité sur $[i,i+1]$ Cela te donne un encadrement, c'est-à-dire deux inégalités. Par un changement de variable dans l'une d'entre elles, débrouille-toi pour obtenir un encadrement de $1/i^3$ entre deux intégrales. Somme alors ces inégalités de $r$ à l'infini et l'affaire sera dans le sac.

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