Distributions et équations
Bonjour
j'ai l'exo suivant que j'ai trouvé sur ce phorum
soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi(0)=0$.
Je sais montrer ceci:
1. $\forall x \in \mathbb{R}, \varphi(x)= x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) \mathrm{d}t$ et on en déduit qu'il existe $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi = x \psi$.
2. Soit $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\R)$ telle que $\varphi_0(0)=1$. Alors, $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R), \exists \psi \in \mathcal{D}(\R), \varphi= \varphi(0) \varphi_0 + x \psi$.
3. Soit $T \in \mathcal{D}'(\R)$. Si on suppose que $xT=0$ alors il existe une constante complexe telle que $T=c \delta$.
La question est comment on déduit que si $(x-a)T=0$ alors il existe une constante complexe $\alpha$ telle que $T = \alpha \delta_a$?
Merci par avance pour toute aide.
j'ai l'exo suivant que j'ai trouvé sur ce phorum
soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi(0)=0$.
Je sais montrer ceci:
1. $\forall x \in \mathbb{R}, \varphi(x)= x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) \mathrm{d}t$ et on en déduit qu'il existe $\psi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\varphi = x \psi$.
2. Soit $\varphi_0 \in \mathcal{D}(\R)$ telle que $\varphi_0(0)=1$. Alors, $\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R), \exists \psi \in \mathcal{D}(\R), \varphi= \varphi(0) \varphi_0 + x \psi$.
3. Soit $T \in \mathcal{D}'(\R)$. Si on suppose que $xT=0$ alors il existe une constante complexe telle que $T=c \delta$.
La question est comment on déduit que si $(x-a)T=0$ alors il existe une constante complexe $\alpha$ telle que $T = \alpha \delta_a$?
Merci par avance pour toute aide.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ta question semble être comment déduire du point 2 (lemme de division) le point 3 (ou c'est ok?)?
j'ai essayé d'appliquer ton idée mais je ne sais pas par où on commence. Si on dit :
soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ on a $\langle (x-a)T,\varphi\rangle= \langle T,(x-a)\varphi\rangle$. Après c'est le blocage total.
Montre que $T_a$ est bien une distribution, puis que $xT_A=0$ si $(x-a)T=0$ Ensuite tu conclus en utilisant le fait que $T_a=c\delta$ pour un certain $c \in \mathbb C$.
j'ai vraiment du mal avec cette question.
Tout d'abord comment est définie la distribution $T_a$? D'après ce que j'ai compris il s'agit de $<T_a,\varphi>\,= \varphi(x+a)$ ? C'est donc Dirac ? Ensuite le lien entre $(x-a)T$ et $xT_a$. Comment on passe de l'un à l'autre ?
Merci pour toute aide.
Je te rappelle qu'en théorie des distributions la plupart des opérateurs sur l'espace des distributions $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ sont définis par dualité.
1) Je définis la translation sur l'espace des fonctions tests $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ par : $$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), \ \forall x \in \mathbb{R}, \ (\tau_a \varphi)(x)=\varphi(x-a)$$
2) Sur l'espace des distributions, je définis alors (il suffit de tester sur une fonction $L^1_{\mathrm{loc}}$ pour voir que c'est la bonne définition) :
$$ \forall T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}), \ \forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), \ \langle \tau_a T, \varphi \rangle = \langle T, \tau_{-a}\varphi \rangle$$
Attention au changement de signe.
3) Avec ces notations, la distribution notée $T_a$ par Poirot est définie par $T_a=\tau_{a} T$. Mais je pense qu'il a fait une petite erreur de signe et qu'il fallait choisir $T_a = \tau_{-a} T$.
4) On montre maintenant comme suggéré par Poirot que $x T_a=0$ , c'est-à-dire que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}), \ \langle xT_a, \varphi \rangle = 0$.
Je te laisse dérouler les différentes définitions et arriver à ce résultat.
5) Une fois établi ce résultat, tu peux appliquer ton point 3 à la distribution $T_a$ et en déduire ce que tu veux sur la distribution $T$.
Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$. On a : $$
\langle x \tau_{-a} T,\varphi \rangle = \langle \tau_{-a}T,x \varphi \rangle = \langle T, \tau_a(x \varphi) \rangle
= \langle T,(x-a)\varphi \rangle = \langle (x-a)T,\varphi\rangle.
$$ Si on suppose que $(x-a)T=0$ alors ça implique que $x \tau_{-a} T=0$ dans $\mathcal{D}'(\R)$ et donc par la question 3, il existe une constante complexe $C \in \C$ telle que $\tau_{-a}T = C \delta$, qui implique que $T= C \tau_{a} \delta= C \delta_a$. Donc en fait pas la peine de prendre une autre constante $\alpha$, il s'agit de la même constante complexe $C$ de la question 3. Que pensez-vous de cette rédaction ? Merci.
Je ne vois ton message que maintenant. Ça me semble exact.