Suite finalement périodique
On dit qu'une suite récurrente linéaire $(u_n)_{n\ge 0}$ est finalement périodique s'il existe un entier $p$ et un rang $N$ tels que $$\forall n\ge N ,\ u_{n+p}=u_n.
$$ L'énoncé suivant est-il vrai ?
$(u_n)_{n\ge 0}$ est finalement périodique si et seulement si son polynôme caractéristique divise $1-X^n$ pour un certain entier $n$.
Sauriez-vous sinon trouver un contre-exemple ?
Merci par avance pour vos réponses.
$$ L'énoncé suivant est-il vrai ?
$(u_n)_{n\ge 0}$ est finalement périodique si et seulement si son polynôme caractéristique divise $1-X^n$ pour un certain entier $n$.
Sauriez-vous sinon trouver un contre-exemple ?
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Réponses
la suite de Fibonacci pour n=3
Cordialement.
[Leonardo Fibonacci (1170-1250) prend toujours une majuscule. AD]
Je raconte souvent des bétisesX:-(
Il y a des dégénérescences « plus subtiles ». Prenez un polynôme au hasard, disons $Q(X)$, disons de degré $d-1\ge0$. Multipliez-le par $X-1$, ce qui donne un polynôme $P(X)$. La récurrence associée à $P$ admet les suites constantes comme solution.
Un exemple explicite : $Q(X)=X^2-X-1$, $P(X)=X^3-2X^2+1$. Parmi les suites $(u_n)$ telles que $u_{n+3}-2u_{n+2}+u_n=0$ pour tout $n$, il y a les suites constantes.
Voici des énoncés un peu plus précis qui évitent peut-être ces écueils. Notons $E_P$ l'espace des suites récurrentes associées à un polynôme $P$ donné.
Au fait, c'est possible que la suite soit récurrente et finalement périodique sans être périodique dès le début ?
Soit $P$ un polynôme de terme constant non nul, et $E_P$ l'espace des suites associé, il faut montrer que :
L'espace $E_P$ est finalement périodique (i.e. toute suite dans $E_P$ est finalement périodique) si, et seulement si $P$ est un polynôme divisant un polynôme de la forme $X^n-1$.
Sans la restriction du dernier coefficient non nul, je crois bien que finalement périodique implique périodique, puisqu'on peut exprimer le dernier terme de la récurrence en fonction des suivants.
Cependant, n'est-ce pas avec la contrainte que le coefficient constant soit non nul que « finalement périodique implique périodique » ?