Réels et transcendants

Tu sais que $\N^2$ est en bijection avec $\N$, n'est-ce pas ? (Et $\Z$ aussi, mais c'est plus facile.) On en déduit :

• que $\Q$ est dénombrable car l'application $\Z\times\N\to\Q$, $(p,q)\mapsto p/(q+1)$ est surjective ;
• que $\Q^2$ est dénombrable car $\Q^2\simeq\N^2\simeq\N\simeq\Q$ ;
• que $\Q^3$ est dénombrable car $\Q^3\simeq \Q\times \Q^2\simeq\Q^2\simeq\Q\simeq\N$ ;
• que $\Q^d$ est dénombrable pour tout $d\ge1$ (par récurrence) ;
• d'autre part, qu'une réunion dénombrable d'ensemble (finis ou) dénombrables est (finie ou) dénombrable : en effet, si $(E_i)_{i\in\N}$ est une famille dénombrable, on numérote les éléments de chaque $E_i$ sous la forme $E_i=\{x_{ij},\ j\in\N\}$ ; l'application $\N^2\to \bigcup_{i\in\N}E_i$, $(i,j)\mapsto x_{ij}$ est surjective.

Pour tout $d$, il y a donc un nombre dénombrables de polynômes de degré au plus $d$ à coefficients rationnels car l'application $\Q^{d+1}\to\Q_d[X]$, $(a_0,\dots,a_d)\mapsto\sum_{k=0}^da_kX^k$ est surjective (par définition de l'ensemble $\Q_d[X]$ des polynômes de degré au plus $d$). Chacun de ces polynômes a un nombre fini de racines. L'ensemble $E_d$ des racines des polynômes de degré $\le d$ est donc dénombrable. L'ensemble des nombres algébriques est la réunion (dénombrable) de ces ensembles (dénombrables) $E_d$ (pour $d\ge1$) donc il est dénombrable.