Sobolev
Bonjour, j’ai l’exo suivant.
1- Montrer que: il existe $c \geq 0$, pour tout $\phi \in D(\mathbb{R}), \sup_x |\phi(x)| \leq c ||\phi||_{H1}$
2- Montrer que pour tout $u$ dans $H^1(\mathbb{R})$ on a
$||u||_{\infty} \leq ||u||_{H^1}$.
3- soit $u$ dans $H^1(\mathbb{R})$. Alors il existe une suite $(\phi_j)$ de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\phi_j \to u$ dans $H^1$. Montrer que $\phi_j$ converge uniformément vers $ u$ puis déduire que $u$ est continue.
Je sais répondre à la question 1. Par contre j’ai des difficultés à écrire un raisonnement correct pour 2 et 3.
Pour la question 2. Soit $u$ dans $H^1$, alors il existe une suite $(\phi_j)$ de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\phi_j \to u$ dans $H^1$. Par la question 1 on a $||\phi_j||_{\infty} \leq c ||\phi_j||_{H^1}$. Je ne sais pas comment passer à la limite proprement pour obtenir l’inégalité sur $u$.
Puis pour 3 pour la convergence uniforme, quel argument utiliser ?
Cordialement.
1- Montrer que: il existe $c \geq 0$, pour tout $\phi \in D(\mathbb{R}), \sup_x |\phi(x)| \leq c ||\phi||_{H1}$
2- Montrer que pour tout $u$ dans $H^1(\mathbb{R})$ on a
$||u||_{\infty} \leq ||u||_{H^1}$.
3- soit $u$ dans $H^1(\mathbb{R})$. Alors il existe une suite $(\phi_j)$ de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\phi_j \to u$ dans $H^1$. Montrer que $\phi_j$ converge uniformément vers $ u$ puis déduire que $u$ est continue.
Je sais répondre à la question 1. Par contre j’ai des difficultés à écrire un raisonnement correct pour 2 et 3.
Pour la question 2. Soit $u$ dans $H^1$, alors il existe une suite $(\phi_j)$ de $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que $\phi_j \to u$ dans $H^1$. Par la question 1 on a $||\phi_j||_{\infty} \leq c ||\phi_j||_{H^1}$. Je ne sais pas comment passer à la limite proprement pour obtenir l’inégalité sur $u$.
Puis pour 3 pour la convergence uniforme, quel argument utiliser ?
Cordialement.
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Réponses
u(x)=u(y)+\int_{y}^{x} u'(t)dt.
$$ Tu peux ensuite en déduire la continuté de $u$ et montrer que l'injection de $H^1$ dans $C^0$ est continue (et même compacte en fait).