Le critère de Weyl
Bonsoir à tous,
J'étudie actuellement la démonstration du critère de Weyl, que l'on peut retrouver dans l'ouvrave de Serge FRANCINOU : Oraux X-ENS Analyse 2, que l'on peut trouver recopiée à la lettre sur internet facilement.
En utilisant les notations de l'énoncé qui consiste à montrer une équivalence entre 3 point (i), (ii) et (iii), je comprends (i) implique (ii), (ii) implique (i), (ii) implique (iii).
Il reste donc seulement à comprendre (iii) implique (ii).
En effet, il est dit que si on considère $f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ continue tel que $f(0) \ne f(1)$ alors pour $\epsilon > 0$ on peut trouver une fonction $g$ continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ tel que $\int_0^1 |f-g| \leq \epsilon$.
Cependant je ne vois pas en quoi cela nous permet d'affirmer que le (ii) est vérifié pour $f$. En effet le raisonnement utilisé dans (i) $\Longrightarrow$ (ii) faisait intervenir $||f-g||_{\infty} \leq \epsilon$. Et là l'hypothèse $\int_0^1 |f-g| \leq \epsilon$ est plus faible et ne nous permet pas d'utiliser le même raisonnement. Avez-vous une idée de ce qui m'échappe ?
Bonne soirée.
J'étudie actuellement la démonstration du critère de Weyl, que l'on peut retrouver dans l'ouvrave de Serge FRANCINOU : Oraux X-ENS Analyse 2, que l'on peut trouver recopiée à la lettre sur internet facilement.
En utilisant les notations de l'énoncé qui consiste à montrer une équivalence entre 3 point (i), (ii) et (iii), je comprends (i) implique (ii), (ii) implique (i), (ii) implique (iii).
Il reste donc seulement à comprendre (iii) implique (ii).
En effet, il est dit que si on considère $f : [0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ continue tel que $f(0) \ne f(1)$ alors pour $\epsilon > 0$ on peut trouver une fonction $g$ continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ tel que $\int_0^1 |f-g| \leq \epsilon$.
Cependant je ne vois pas en quoi cela nous permet d'affirmer que le (ii) est vérifié pour $f$. En effet le raisonnement utilisé dans (i) $\Longrightarrow$ (ii) faisait intervenir $||f-g||_{\infty} \leq \epsilon$. Et là l'hypothèse $\int_0^1 |f-g| \leq \epsilon$ est plus faible et ne nous permet pas d'utiliser le même raisonnement. Avez-vous une idée de ce qui m'échappe ?
Bonne soirée.
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Réponses
Pour taper du $\rm\LaTeX$, il suffit d'écrire les commandes mathématiques entre dollars (pour les formules en ligne) ou entre $\backslash[$ et $\backslash]$ (pour les formules centrées). Comme dans un fichier, donc. Par exemple, la formule $\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}=0$ valable pour $\theta$ irrationnel a meilleure allure si on la centre : \[\forall\theta\in\R\setminus\Q,\quad
\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}=0.\]
La formule servant d'exemple étant une application directe du dit critère... c'est bien vu
J'ai édité mon premier message.
Oui c'est exactement ça. Je précise que j'ai dejà connaissance que cette propriété énoncée est vraie pour les fonctions $f$ continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ vérifiant $f(0) = f(1)$, et qu'à partir de ça, on peut "normalement" montrer que la propriété est vraie pour n'importe quelle fonction continue.
Je précise aussi que la suite $(u_n)_n$ considérée est à valeurs dans $[0,1]$.
Merci
Supposons que $g$ est $C^2$ et $1$-périodique.
Alors on a la série de Fourier $g(x) = \sum_m c_m e^{2i \pi m x}$ et $\sum_m |c_m| < \infty$.
Donc $\frac{1}{n} \sum_{k =1}^n g(u_k) = \sum_m c_m \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{2i \pi n u_k} = c_0 + \sum_m c_m o(1)=c_0+o(1) \to c_0 = \int_0^1 g(x)dx$
Ensuite pour $f \in C^0$ et $1$-périodique, prends une suite $(f_l) \in C^2$ qui converge uniformément vers $f$.
Alors $\frac{1}{n} \sum_{k =1}^n f(u_k) = \frac{1}{n} \sum_{k =1}^n (f(u_k)-f_l(u_k)) + \frac{1}{n} \sum_{k =1}^n f_l(u_k) = O(\|f-f_l\|_\infty) + \int_0^1 f_l(x)dx + o(1) \to \int_0^1 f(x)dx$
Enfin, si vraiment tu veux aussi le cas $f \in C^0([0,1])$ (qu'on rend $1$-périodique) alors il ne reste qu'à regarder le cas $f(x) = x-\lfloor x \rfloor$
Merci pour ta réponse.
Je ne comprends pas la parenthèse disant que l'on "rend" $f$ 1-périodique. Comment procéder ?