$L^p$ et distributions

Bonjour, j'ai l'exo suivant.

On pose $f(x)= \ln(|x|)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$.
On sait que $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$ et que $\Delta f=0$ au sens classique, et que donc $\Delta f =0$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.

Comment on démontre que $f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour tout $p<+\infty$ et que $\partial_i f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour $i=1,2$ quand $1 \leq p < 2$ ?
Merci par avance pour toute aide.