Quotient continu de fonctions discontinues

Bonjour,

Je ne pense pas que ce soit possible (si ça ne l'est pas : pourquoi ?), mais voilà ce que je cherche à construire :

Une fonction f=a/b qui soit CONTINUE sur ]0,1], sachant que :
1) a est une fonction de limite NON NULLE en 0
2) b est la fonction qui à x associe x si x est rationnel, et -x si x est irrationnel (autrement dit, b est le produit du double de la fonction indicatrice de Q minoré de 1, par la fonction identité : b=(2*Khi(Q)-1)*Id)

Bien entendu, facile de faire un quotient continu en prenant a=b, mais a tend alors vers 0 en 0, et en prenant a(x)=1, f n'est pas continue sur ]0,1]... Peut-on avoir les deux ?

En fait, je cherche à construire une fonction quotient, continue sur ]0,1], dont la limite en 0 est du type "<>0/0" avec le dénominateur qui ne soit pas de signe constant.
Merci, DedenK.