Calcul de la limite de $(5^n)/n$

Nelly05 · October 2018

Bonjour, j'aimerais savoir comment prouver que la limite de $(5^n)/n$ (quand $n \to\infty$) vaut $+\infty$.
Cordialement.

Math Coss · October 2018

Qu'est-ce que tu sais ? En quelle classe ou à quel niveau es-tu ?

Nelly05 · October 2018

Je suis en licence 2, et je sais que 5^n tend vers +inf quand n tend vers +inf car 5>1, que 1/n tend vers 0 quand n tend vers +inf.
Donc 5^n/n est une forme indéterminée de type inf *0.
J'étudie la limite de cette fonction pour prouver que la série de terme général (-5)^n/n diverge .

Flora · October 2018

Salut Nelly,

pour la limite de cette fonction, je pense que tu peux essayer de composer par l'exponentielle et utiliser une croissance comparée usuelle par la suite ;-)
Car $5^n=e^{n\ln(5)}$

Bonne journée.

Math Coss · October 2018

D'accord. En L2, tu dois pouvoir compléter l'une des méthodes suivantes.

Ultra-classique : on passe en écriture exponentielle et on factorise ce qui est grand. On écrit donc \[\dfrac{5^n}{n}=\mathrm{e}^{n\ln(5)-\ln n}=\mathrm{e}^{n\ln(5)\bigl(1-\frac{\ln n}{n\ln 5}\bigr)}\] et en principe, tu connais la limite de $\ln(n)/n$ en l'infini (mot masculin).
Sans prérequis, à la D'Alembert : on pose $u_n=\frac{5^n}{n}$ et on calcule \[\frac{u_{n+1}}{u_n}=5\frac{n}{n+1}\ge2\] pour tout $n\ge1$, d'où on déduit par récurrence que $u_n\ge2^n$ pour tout $n\ge1$.

Nelly05 · October 2018

Vraiment merci à vous deux.
J'oublie à chaque fois de voir si je peux utiliser 'la méthode de l'exponentielle'. Et il est vrai que je pouvais utiliser d'Alembert mais je voulais quelque chose de moins long.

Calcul de la limite de $(5^n)/n$

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