Les espaces $L^p$
dans Analyse
Bonsoir
Soit $f\in L^p$. Pourqoui pour $\epsilon$, il existe $R>0$ tel que $\|f\chi_{\{|x|>R\}}\|_p<\epsilon$.
Soit $f\in L^p$. Pourqoui pour $\epsilon$, il existe $R>0$ tel que $\|f\chi_{\{|x|>R\}}\|_p<\epsilon$.
Réponses
-
Bonsoir,
Il faut utiliser le théorème de convergence dominée. -
-Si $f$ est à support compact, le résultat n'est-il pas clair? Il suffit alors de procéder par densité!
Ou encore, applique "mollement" le théorème de convergence dominée (lorsque ton paramètre $R$ tend vers $+\infty$) pour conclure.
-Si tu veux voir une proposition plus générale (liée à ta question), tu peux regarder la notion d' "uniforme intégrabilité". -
Oui $f\chi_{\{|x|>R\}}$ converge vers $f$ dans $L^p$ qaund $R$ tend vers 0. Mais je ne vois pas comment.
-
Car la suite d'indicatrice converge pp vers $0,$ non? Pour la domination, il me semble que c'est clair!
-
Ah oui, donc en fait c'est le Théorème de convergence dominée quand $R$ tend vers $\infty$ pas 0.
Merci.
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