Étude de la série $\ln(n)/n^\alpha$
Bonjour, (je suis étudiante en L2)
Je bloque lors de l'étude de la convergence de la série de terme général $\quad\ln(n)/n^\alpha$.
Je sais que c'est une série de Bertrand avec $\beta=-1$ donc converge lorsque $\alpha>1$, cependant je n'arrive pas à le démontrer.
Pouvez-vous m'expliquer la méthode à utiliser pour y arriver.
Merci d'avance.
Je bloque lors de l'étude de la convergence de la série de terme général $\quad\ln(n)/n^\alpha$.
Je sais que c'est une série de Bertrand avec $\beta=-1$ donc converge lorsque $\alpha>1$, cependant je n'arrive pas à le démontrer.
Pouvez-vous m'expliquer la méthode à utiliser pour y arriver.
Merci d'avance.
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Réponses
On considère $\alpha>1$.
En utilisant un résultat de croissances comparées, montre qu'il existe un réel $c>1$ tel que:
$$\dfrac{\ln(n)}{n^{\alpha}} \underset{n\to +\infty}{=}o\left(\dfrac{1}{n^c}\right)$$
Tu peux ensuite conclure à l'aide du critère de convergence des séries de Riemann et d'un critère de comparaison par négligeabilité dans le contexte des séries à termes positifs (qui n'est qu'une conséquence du critère de comparaison par inégalité des séries à termes positifs, lui-même conséquence d'un théorème de limite monotone dans le contexte séquentiel).
Bien cordialement,