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Une inégalité

Envoyé par berteau 
Une inégalité
22 octobre 2018, 11:31
Bonjour, j'ai un exercice mais je n'y arrive pas est-ce que quelqu'un peut m'aider svp. Par avance merci.

Soient x et y deux nombres réels, prouver l'inégalité :

x + y < x2 + y2 + 2




Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/10/2018 11:49 par AD.
Re: inégalité
22 octobre 2018, 11:44
L'inégalité est triviale si $x+y \leq 0$ car le membre de droite est positif, on suppose donc le contraire. Il s'agit de montrer que $$x^2-x+1 + y^2-y+1 > 0.$$ Or comme on a supposé que $x+y > 0$, on a $$x^2-x+1 + y^2-y+1 > x^2-x+1 + y^2-y+1 -(x+y),$$ que je te laisse simplifier...
LP
Re: inégalité
22 octobre 2018, 11:45
Bonjour,
Tu peux commencer par montrer que, pour tout réel $a$, $a \leqslant 1+a^2$.
LP
Re: Une inégalité
22 octobre 2018, 11:51
avatar
Sinon :
$x^2-x=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
$y^2-y=(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
Re: Une inégalité
22 octobre 2018, 20:40
avatar
Bonjour,

Une autre méthode : regarder cette équation comme une équation polynomiale de degré deux.
Pour tous $x,y$ réels, $x^2-x+y^2-y+2>0$. En effet, le discriminant vaut $-((2 y-1)^2+6)<0$ et le polynôme reste donc strictement positif (le signe du coefficient du terme en $x^2$).

Et une autre : changement de variables en coordonnées polaires. Pour tous $x,y$ réels, il existe $r\geq 0, \theta \in [0,2\pi[$ tels que $x=r \cos\theta, y=r \sin \theta$ et alors il s’agit de montrer : $r^2-r(\cos \theta+\sin\theta)+2>0.$ Le discriminant vaut $-7+\sin(2 \theta)<0.$ Voilà !
Re: inégalité
23 octobre 2018, 10:23
Bonjour, voici ce que j'ai fait.

x + y < 0
donc x +y < x^2 + y^2 + 2
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > 0
comme on suppose que x + y > 0
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 - ( x + y )
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 - x - y
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > x^2 - 2x + 1 +y^2 +2y +1
x^2 - x^2 +y ^2 - y^2 + 1 +1 > -2x +x -2y + y +1 +1
2 > -x - y + 2
2-2 > -x -y
0 > -x - y
x + y > 0

Merci par avance de me dire si cela est correct .
Re: inégalité
23 octobre 2018, 13:48
Sans autre explication, la première ligne est incohérente avec la seule phrase en français.

Et globalement, tu démontres que x + y > 0 après avoir supposé que x + y > 0, en 8 lignes, donc 7 de trop !!

Une démonstration est faite pour convaincre les autres, si tu n'aboutis pas à ce que tu voulais démontrer, tu ne convaincs personne.

rappel : On a le droit d'expliquer en français ce qu'on fait et comment on calcule ou on raisonne.

Cordialement.
Re: inégalité
23 octobre 2018, 16:13
x^2 + y^2 + 2 - x - y = x^2 - x + 1 + y^2 -y +1
= [(x - 1/2)^2 + 3/4] + [(y - 1/2 )^2 + 3/4]

Je constate que c'est positif.
Re: Une inégalité
23 octobre 2018, 16:36
avatar
Si $x+y<2$ on termine si $x+y\ge 2$ tu as $x^2+y^2\ge x+y $ (Hôlder).
Re: Une inégalité
23 octobre 2018, 16:50
Je ne comprends pas.
Re: Une inégalité
23 octobre 2018, 17:12
avatar
$x+y<2<x^2+y^2+2$
Si $x+y\ge 2 $ (disons le tout positif) alors $x^2+y^2\ge x+y$ et tu as l'inégalité ici Cauchy-Schwarz...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 23/10/2018 18:39 par AD.
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