Une inégalité

berteau · October 2018

Bonjour, j'ai un exercice mais je n'y arrive pas est-ce que quelqu'un peut m'aider svp. Par avance merci.

Soient x et y deux nombres réels, prouver l'inégalité :

x + y < x² + y² + 2

Poirot · October 2018

L'inégalité est triviale si $x+y \leq 0$ car le membre de droite est positif, on suppose donc le contraire. Il s'agit de montrer que $$x^2-x+1 + y^2-y+1 > 0.$$ Or comme on a supposé que $x+y > 0$, on a $$x^2-x+1 + y^2-y+1 > x^2-x+1 + y^2-y+1 -(x+y),$$ que je te laisse simplifier...

LP · October 2018

Bonjour,
Tu peux commencer par montrer que, pour tout réel $a$, $a \leqslant 1+a^2$.
LP

Amathoué · October 2018

Sinon :
$x^2-x=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
$y^2-y=(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

YvesM · October 2018

Bonjour,

Une autre méthode : regarder cette équation comme une équation polynomiale de degré deux.
Pour tous $x,y$ réels, $x^2-x+y^2-y+2>0$. En effet, le discriminant vaut $-((2 y-1)^2+6)<0$ et le polynôme reste donc strictement positif (le signe du coefficient du terme en $x^2$).

Et une autre : changement de variables en coordonnées polaires. Pour tous $x,y$ réels, il existe $r\geq 0, \theta \in [0,2\pi[$ tels que $x=r \cos\theta, y=r \sin \theta$ et alors il s’agit de montrer : $r^2-r(\cos \theta+\sin\theta)+2>0.$ Le discriminant vaut $-7+\sin(2 \theta)<0.$ Voilà !

berteau · October 2018

Bonjour, voici ce que j'ai fait.

x + y < 0
donc x +y < x^2 + y^2 + 2
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > 0
comme on suppose que x + y > 0
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 - ( x + y )
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 - x - y
x^2 - x + 1 + y^2 - y + 1 > x^2 - 2x + 1 +y^2 +2y +1
x^2 - x^2 +y ^2 - y^2 + 1 +1 > -2x +x -2y + y +1 +1
2 > -x - y + 2
2-2 > -x -y
0 > -x - y
x + y > 0

Merci par avance de me dire si cela est correct .

gerard0 · October 2018

Sans autre explication, la première ligne est incohérente avec la seule phrase en français.

Et globalement, tu démontres que x + y > 0 après avoir supposé que x + y > 0, en 8 lignes, donc 7 de trop !!

Une démonstration est faite pour convaincre les autres, si tu n'aboutis pas à ce que tu voulais démontrer, tu ne convaincs personne.

rappel : On a le droit d'expliquer en français ce qu'on fait et comment on calcule ou on raisonne.

Cordialement.