Limite de n!

Dire que la limite de la suite $(n!)_{n\in\N}$ est infinie, ce n'est pas dire que $n!$ vaut l'infini à partir d'un certain rang ou quelque chose de métaphysique.

Dire qu'une suite $(u_n)$ tend vers l'infini, cela veut dire que si on choisit un réel $A$ (on peut ajouter « aussi grand que l'on veut »), alors $u_n$ est plus grand que $A$ à partir d'un certain rang.

Par exemple, il est évident que la suite définie par $u_n=n$ (pour tout $n$) tend vers l'infini. En effet, quel que soit $A$, dès que $n>A$, eh bien... on a $n>A$.

Il est à peu près aussi évident que la suite définie par $v_n=n!$ (pour tout $n$) tend vers l'infini. En effet, pour tout entier $n\ge2$, on a : $n!\ge n$ puisque \[n!=n\times (n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1\]et que chacun des facteurs de $n-1$ à $2$ est supérieur ou égal à $1$. Par conséquent, quel que soit $A$, dès que $n>A$, on a $n!\ge n$ donc $n!>A$. Cela suffit à prouver que la limite de la suite $(n!)_{n\in\N}$ est l'infini.