Limite de n!
dans Analyse
Salut tous le monde
Pourquoi Lim n!=+infini quand n tend vers l'infini ???
Pourquoi Lim n!=+infini quand n tend vers l'infini ???
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Réponses
comment pouvons nous démontrer ça?
Dire qu'une suite $(u_n)$ tend vers l'infini, cela veut dire que si on choisit un réel $A$ (on peut ajouter « aussi grand que l'on veut »), alors $u_n$ est plus grand que $A$ à partir d'un certain rang.
Par exemple, il est évident que la suite définie par $u_n=n$ (pour tout $n$) tend vers l'infini. En effet, quel que soit $A$, dès que $n>A$, eh bien... on a $n>A$.
Il est à peu près aussi évident que la suite définie par $v_n=n!$ (pour tout $n$) tend vers l'infini. En effet, pour tout entier $n\ge2$, on a : $n!\ge n$ puisque \[n!=n\times (n-1)\times(n-2)\times\cdots\times2\times1\]et que chacun des facteurs de $n-1$ à $2$ est supérieur ou égal à $1$. Par conséquent, quel que soit $A$, dès que $n>A$, on a $n!\ge n$ donc $n!>A$. Cela suffit à prouver que la limite de la suite $(n!)_{n\in\N}$ est l'infini.
$\left(10^2\right)!>10\times 10^2$ et $10\times 10^2=10^3$
Il est clair que pour tout $n>0$ entier naturel,
$\left(10^n\right)!>10^{\dfrac{n(n+1)}{2}}$
Pour $n=10$, on a $\displaystyle \left(10^{10}\right)!>10^{55}$ ce dernier nombre s'écrit 1 suivi de $55$ zéros, c'est un nombre gigantesque.
Y a-t-il une fonction qui peut n! l'accepte comme une fonction équivalente??
f=n! donc c quoi g!!!??
Deuxième réponse : $n!\sim \Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^n\sqrt{2\pi n}$ – c'est la formule de Stirling, beaucoup plus difficile à montrer que la limite de la factorielle en l'infini.
NB : Étonnant mélange que ce symbole relativement sophistiqué et l'apparente naïveté de la question initiale.