Jauge d'un convexe
Bonjour, j'ai besoin d'aide sur la compréhension de la démonstration de sous-additivité d'une jauge d'un convexe.
En effet on a K convexe
x,y appartienent à R^n et a,b>0
Tels que x/a et y/b appartiennent à K
On a jk(x)={a>0, x/a € K}
Jk(y)={b>0, y/b € K}
On a montreé que x+y/a+b appartient à K [ <-- est-ce (x+y)/(a+b) ou x+(y/a)+b ?? AD]
Mais je ne vois pas comment on dit à partir de cela que
Jk(x+y) =< a+b
Et ensuite on applique la borne inférieure pour trouver
Jk(x+y) < jk(x)+jk(y)
En effet on a K convexe
x,y appartienent à R^n et a,b>0
Tels que x/a et y/b appartiennent à K
On a jk(x)={a>0, x/a € K}
Jk(y)={b>0, y/b € K}
On a montreé que x+y/a+b appartient à K [ <-- est-ce (x+y)/(a+b) ou x+(y/a)+b ?? AD]
Mais je ne vois pas comment on dit à partir de cela que
Jk(x+y) =< a+b
Et ensuite on applique la borne inférieure pour trouver
Jk(x+y) < jk(x)+jk(y)
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Réponses
Pour ta première question, si $\frac{x+y}{a+b} \in K$, alors en particulier $a+b \in \{r > 0 \mid \frac{x+y}{r} \in K\}$ et donc il est plus grand que sa borne inférieure : $a+b \geq j_K(x+y)$. Ensuite, ceci étant vrai pour tout $a \in \{r > 0 \mid \frac{x}{a} \in K\}$ et $b \in \{r > 0 \mid \frac{y}{b} \in K\}$, il suffit de prendre la borne inférieure sur ces deux ensembles pour voir que $$j_K(x) + j_K(y) \geq j_K(x+y).$$
Merci beaucoup j'ai compris :-)
Elle s'appelle la jauge de convexe ou fonctionnelle de Minkowski https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctionnelle_de_Minkowski