Distribution.
dans Analyse
Salut à tous !
Je cherche à montrer que $T(\varphi) = \sum_{k\ge 1} \frac{1}{\sqrt{k}} (\varphi(\frac{1}{k}) - \varphi(-\frac{1}{k}))$ est d'ordre 1.
Pour cela, j'ai déjà un peu travaillé il me reste à montrer qu'elle n'est pas d'ordre 0.
Supposons qu'elle le soit. Mon but est d'arriver à $T(\varphi_{N}) = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{i}} \le C $
Pour cela il suffit de prendre $\varphi_{N}$ à support inclus dans $]1/N+1 ; 2[$ et plateau sur $[1/N ; 1]$ mais le problème est que pour passer à la limite il faut que $\varphi_{N}$ convergence dans $D$. C'est-à-dire uniformément vers $0$ ainsi que ses dérivées sur tout compact.
C'est ce qui me bloque. Toutefois je réfléchis à une astuce multiplier par $\exp(-N)$ pour contrôler la norme... Bon ici ça ne marche pas car ça contrôle aussi ma somme.
Peut-être pourrait-on aller dans cette voie ?
Bref ! Pouvez-vous me débloquer s'il vous plaît.
Merci à vous !
Je cherche à montrer que $T(\varphi) = \sum_{k\ge 1} \frac{1}{\sqrt{k}} (\varphi(\frac{1}{k}) - \varphi(-\frac{1}{k}))$ est d'ordre 1.
Pour cela, j'ai déjà un peu travaillé il me reste à montrer qu'elle n'est pas d'ordre 0.
Supposons qu'elle le soit. Mon but est d'arriver à $T(\varphi_{N}) = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{i}} \le C $
Pour cela il suffit de prendre $\varphi_{N}$ à support inclus dans $]1/N+1 ; 2[$ et plateau sur $[1/N ; 1]$ mais le problème est que pour passer à la limite il faut que $\varphi_{N}$ convergence dans $D$. C'est-à-dire uniformément vers $0$ ainsi que ses dérivées sur tout compact.
C'est ce qui me bloque. Toutefois je réfléchis à une astuce multiplier par $\exp(-N)$ pour contrôler la norme... Bon ici ça ne marche pas car ça contrôle aussi ma somme.
Peut-être pourrait-on aller dans cette voie ?
Bref ! Pouvez-vous me débloquer s'il vous plaît.
Merci à vous !
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Réponses
Donc $|T(\varphi)| \le C\|\varphi'\|_\infty$
Et il ne reste plus qu'à prendre une suite $\varphi_n$ avec $\|\varphi_n\|_\infty$ bornée telle que $|T(\varphi_n)| \to \infty$
Merci mais ce n'est pas ce que je demande.