Mesure $\sigma$-finie
dans Analyse
Bonsoir, S'il vous plaît j'aimerais votre avis sur la question suivante.
On pose \[\|f\|_{\infty}=\inf{\{C\in\mathbb{R}_+;\quad |f(x)|\leq C \text{ presque partout sur }\Omega\}}.
\] Montrer que $\|f\|_{\infty}=+\infty$ ssi il existe une suite décroissante $(G_n)_n$ de parties $m$-mesurable de $\Omega$ de mesure finie telle que $\lim_{n\rightarrow +\infty} m(G_n)=0$ et $|f(x)|>n$ dans $G_n,\ \forall n$ et,
$m(G_n\smallsetminus G_{n+1})>0,$ où $m$ est une mesure $\sigma$-finie.
Ma solution
De la définition de la norme infinie on a $\quad m\{|f|>+\infty\}=0 \text{ et }m\{|f|>c\}>0,\ \forall c\geq 0$
On a $\Omega=\bigcup_{n}\{|f|>n\}$
Posons \[G_n=F\cap\{|f|>n\} ,\] où $F$ est une partie de $\Omega$ de mesure finie car $m$ est $\sigma$-finie.
Du théorème de continuité inférieure on déduit que $m(G_n)$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
Ma solution est-elle correcte ?
Est-ce qu'on peut avoir ce résultat si $m$ n'est pas $\sigma $-finie ?
On pose \[\|f\|_{\infty}=\inf{\{C\in\mathbb{R}_+;\quad |f(x)|\leq C \text{ presque partout sur }\Omega\}}.
\] Montrer que $\|f\|_{\infty}=+\infty$ ssi il existe une suite décroissante $(G_n)_n$ de parties $m$-mesurable de $\Omega$ de mesure finie telle que $\lim_{n\rightarrow +\infty} m(G_n)=0$ et $|f(x)|>n$ dans $G_n,\ \forall n$ et,
$m(G_n\smallsetminus G_{n+1})>0,$ où $m$ est une mesure $\sigma$-finie.
Ma solution
De la définition de la norme infinie on a $\quad m\{|f|>+\infty\}=0 \text{ et }m\{|f|>c\}>0,\ \forall c\geq 0$
On a $\Omega=\bigcup_{n}\{|f|>n\}$
Posons \[G_n=F\cap\{|f|>n\} ,\] où $F$ est une partie de $\Omega$ de mesure finie car $m$ est $\sigma$-finie.
Du théorème de continuité inférieure on déduit que $m(G_n)$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
Ma solution est-elle correcte ?
Est-ce qu'on peut avoir ce résultat si $m$ n'est pas $\sigma $-finie ?
Réponses
-
Non ça ne va pas du tout. Tu ne dis pas qui est $f$, tu ne dis pas comment tu procèdes pour démontrer ton équivalence, et tu commences par écrire $$\quad m\{|f|>+\infty\}=0 \text{ et }m\{|f|>c\}>0,\ \forall c\geq 0,$$ ce qui n'a aucune raison d'être vrai !
-
$f:\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$ est une fonction mesurable.
Je suppose que $\|f\|_{\infty}=+\infty$
On a encore
\[\|f\|_{\infty}=\inf{\{c\geq 0\mid m\{|f|>c\}=0\}}\] ainsi par hypothèse et par définition on a
$m\{|f|>+\infty\}=0$ et $\forall c\geq 0,\ m\{|f|>c\}>0$
Où $\{|f|>c\}=\{x\in\Omega \mid f(x)>c\}$
Et on continue comme ci-haut.
En fait c'est cet implication que je veux. -
C'est encore n'importe quoi. Tu ne peux pas remplacer $c$ par $+\infty$ ! Il est également faux de dire que $\Omega=\bigcup_{n}\{|f|>n\}$. Tu n'utilises pas la définition de mesure $\sigma$-finie (l'existence d'une partie de mesure finie n'a pas grand-chose à voir avec cette hypothèse), tu ne dis pas pourquoi $m(G_n)$ converge vers $0$, ni pourquoi $m(G_{n+1} \setminus G_n) > 0$ pour tout $n$...
-
Bonsoir,s'il te plaît consulte un peu le document ci joint pour la justification de $m\{|f|=\infty\}=0$.
Puisque $(G_n)_n$est décroissante et que $m(G_0)<\infty$ alors le théorème de continuité inférieur montre que \[\lim_{n\to\infty}m(G_n)=m(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}G_n)\leq m\{|f|=\infty\}=0\]
Si $m(G_{n_{0}}\smallsetminus G_{n_{0}+1})=0$ alors $m(G_{n_{0}})=m(G_{n_{0}+1})$
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