Sur les fonctions presques périodiques

Meryem el
Meryem el
dans Analyse
Pouvez-vous m'aider à démontrer ça:
Une fonction presque périodiques si et seulement si, elle possède la propriété dapproximation polynômiale.

Réponses

  • AitJoseph
    AitJoseph
    Tu peux préçiser l'énoncé et Merci
  • Meryem el
    Meryem el
    Voilà c'est le théorème où j'ai trouvé des difficultés a le démontrer81234
  • Tryss
    Tryss
    Pour le sens approximation polynomiale => presque periodique, on peut remarquer que quelque soit $\epsilon$,

    $\| f(x+T) - f(x) \| \leq \|f(x+T)- P_\epsilon(x+T) \| + \|P_\epsilon(x+T) - P_\epsilon(x) \| + \|f(x)- P_\epsilon(x) \| $

    Et on montre alors que si $T$ est une $\epsilon$ presque-période de $P_\epsilon$ alors c'est une $3\epsilon$ presque-période de $f$
  • Meryem el
    Meryem el
    Merci beaucoup
  • reuns
    reuns
    Edit : j'ai dit une bétise. Doinc la question que je soulève c'est comment tu fais pour trouver des polynômes trigonométriques qui approximent $f$ quand tu sais juste que pour tout $\epsilon $ il existe $T_\epsilon$ tel que $|f(.+ T_\epsilon)-f|< \epsilon$ ?



    [small]
    Dans l'autre sens, utilise les propriétés des séries de Fourier des fonctions $C^\infty$ et périodiques (convolution par le noyau de Dirichlet ou autre) pour montrer que les fonctions continues périodiques sont approximées par des polynômes trigonométriques,

    Et comme $f$ est continue et $|f(.+k T_\epsilon)-f|< \epsilon$, tu as que $f = f_\epsilon+g_\epsilon$ où $f_\epsilon$ est $T_\epsilon$ périodique et continue et $|g_\epsilon| < \epsilon$
    [/small]
  • Meryem el
    Meryem el
    Je suis totalement bloqué parce-que je n'arrive pas à le démontrer
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