Suite à croissance lente
dans Analyse
Voilà un critère pour montrer qu'une suite définie par récurrence converge.
Soit $a<b$ des réels et $f:[a,b]\to [a,b]$ une fonction continue.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Montrer que si $\lim(u_{n+1}-u_n)=0$, alors $(u_n)$ converge.
Soit $a<b$ des réels et $f:[a,b]\to [a,b]$ une fonction continue.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Montrer que si $\lim(u_{n+1}-u_n)=0$, alors $(u_n)$ converge.
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Réponses
La suite $(u_n)_n$ étant bornée, elle admet au moins une valeur d'adhérence d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass.
On raisonne ensuite par l'absurde et on suppose que l'on dispose de deux valeurs d'adhérence $s$ et $t$ de $(u_n)_n$ vérifiant $s<t$
On montre alors que tous les éléments de $[s,t]$ sont valeurs d'adhérence de $(u_n)_n$.
On montre ensuite que les valeurs d'adhérence sont des points fixes de $f$.
On en déduit alors que $(u_n)_n$ est stationnaire, donc convergente, donc ne possède qu'une seule valeur d'adhérence: contradiction.
Bien cordialement,
La partie la plus délicate est de montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est un intervalle...
Pour ce faire, tu te donnes $w\in [s,t]$.
Tu veux montrer que $w$ est valeur d'adhérence de $(u_n)_{n\in\N}$.
Soit $\varepsilon>0$ et $N\in\N$.
On veut montrer qu'il existe un entier $n\geqslant N$ tel que $\vert u_n-w\vert \leqslant \varepsilon$.
Par hypothèse, on dispose d'un entier naturel $n_1$ tel que pour tout $n\geqslant n_1$, $\vert u_{n+1}-u_n\vert \leqslant \varepsilon$ $~~(\star)$
Comme $s$ et $t$ sont deux valeurs d'adhérence de $(u_n)_{n\in\N}$, on dispose de $n_s\geqslant \max(N,n_1)$ et de $n_t\geqslant n_s$ tels que
$$\vert u_{n_s}-s\vert \leqslant \varepsilon~~\text{et}~~\vert u_{n_t}-t\vert \leqslant \varepsilon$$
Il ne te reste maintenant qu'à formaliser l'idée suivante:
"pour passer de $u_{n_s}$ à $u_{n_t}$, les $u_n$ vont forcément passer à un moment près de $w$ à $\varepsilon$ près, et ce en vertu de $(\star)$."
(ne pas hésiter à dessiner !)
Si $w$ n'est pas valeur d'adhérence, il existe $\varepsilon >0$ et $N\in\mathbb N$ tel que pour tout $n\geq N$, $u_n<w-\varepsilon$ ou $u_n>w+\varepsilon$.
De plus, quitte à prendre $N$ plus grand, on peut supposer que $u_{n+1}-u_n<\varepsilon$ pour tout $n\geq N$.
S'il n'y a qu'un nombre fini de $n\geq N$ tels que $u_n<w-\varepsilon$, alors $u_n>w+\varepsilon$ pour tout $n$ suffisamment grand ce qui empêche $s$ d'être valeur d'adhérence.
Donc $\{n\geq N;u_n<w-\varepsilon\}$ est infini, ainsi que $\{n\geq N;u_n>w+\varepsilon\}$ par le même raisonnement avec $t$.
Il existe donc $m\geq N$ tel que $u_m<w-\varepsilon$ et $u_{m+1}>w+\varepsilon$.
On en déduit que $u_{m+1}-u_m>2\varepsilon$ : contradiction.