Théorème de prolongement de la dérivée

jp59 · October 2018

Bonjour,

Voici ce théorème et sa preuve.
A la suite de ceci est écrit « donc f(x)-f(a) / x-a tend vers l »
Et c’est cette dernière conclusion que je ne saisis pas.
l est, par hypothèse, la limite de f’ en a ainsi ceci revient à affirmer que f’ tend vers f’(a) en a et donc que f’ est continue en a Ce que l’on utilise lorsqu’on dit que comme c(x) tend vers a alors f’(c(x)) tend vers f’(a) sans le prouver
Prouve-t-on implicitement que f’ est continue sur I pour prouver que f est dérivable en a ?

Merci d’avance 81282

gerard0 · October 2018

Bonjour.

Une fois que le théorème est prouvé, on a effectivement prouvé que f' est continue en a. mais on n'a pas utilisé cela dans la démonstration, seulement que f' a une limite $\ell$ en a, que $\lim\limits_{c_x\to a}f'(c_x) = \ell$.
Cependant, il est possible que f' ne soit pas continue ailleurs. Compte tenu de ce théorème, cela veut dire qu'alors f' n'a pas de limite en ce point.

Cordialement.

jp59 · October 2018

Je ne comprends pas pourquoi f’(c(x)) tend vers l lorsque x tend vers a (c’est équivalent à dire lorsque c(x) tend vers a ?)
Certes c’est écrit par composition de limites mais je ne vois pas les limites mises en jeu dans ce résultat

Poirot · October 2018

$c(x)$ tend vers $a$ quand $x$ tend vers $a$, et par hypothèse sur $f'$, $f'(y)$ tend vers $l$ lorsque $y$ tend vers $a$. Par composition, $f'(c(x))$ tend bien vers $l$ quand $x$ tend vers $a$. Ça permet de dire que le taux d'accroissement en $a$ converge bien vers $l$ et donc que $f$ est dérivable en $a$, de dérivée $l$. Enfin, cela donne la continuité de $f'$ en $a$ par hypothèse.

jp59 · October 2018

Merci beaucoup @Poirot et gerard0 pour vos réponses toujours claires

Théorème de prolongement de la dérivée

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