Fonction convexe.

B2Olomophe · October 2018

Salut à tous !
Connaissez-vous une preuve simple pour dire :

soit une fonction $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ convexe alors elle [est] l'enveloppe supérieur des droites affines qui la minore.

Bonne journée.

GaBuZoMeu · October 2018

Montre que pour tout $x\in \mathbb R$ il existe une fonction affine $a$ qui minore $f$ et telle que $a(x)=f(x)$.

B2Olomophe · October 2018

Salut GBZM.

Soit $x\in R$.
On cherche $u(t) = at+b$ tel que $u(x) = f(x)$ et $u \le f$.
Il suffit de trouver le coeff directeur, après quelques dessins, j'ai bien envie de prendre $f'(x)$.
Maintenant faut formaliser, posons $u(t)=f'(x)(t-x) + f(x)$. Il reste à montrer que $ u \le f$
On sait que la dérivée de $f$ est croissante et $u(t) - f(t) = [f(x)-f(t)] + f'(x)(t-x)$.
On suppose $t \ne x$ et il me reste plus qu'à trouver un argument bien senti sur les pentes pour trouver le signe de $(t-x)[\frac{f(x)-f(t)}{t-x} - f'(x)]$

GaBuZoMeu · October 2018

Une fonction convexe n'est pas forcément dérivable. Tu ne peux pas utiliser la dérivée $f'(x)$ pour ton argument.

B2Olomophe · October 2018

Ah, alors voilà l'argument, $g(t) = \frac{f(x)-f(t)}{x-t}$ est croissante. D'où $lim_{t->x} g(t) \le g(t)$ si $t >x$ et donc $u \le f$ pour les $t >x$.
On fait pareil pour les $t < x$.
Et on conclut.

Problème : j'ai utilisé $f'(x)$ mais je ne sais pas quelle est dérivable !