Suite et finance

chris_51000
chris_51000
dans Analyse
Bonjour à tous,
je suis de nouveau bloqué sur un problème.

L'énoncé est le suivant : vous venez de recevoir 30 000 euros que vous pouvez investir a 1% par an. Pendant combien d'année pouvez-vous dépenser 5000 euros annuellement jusqu'à épuisement de votre richesse ?
Quel est le montant maximum que vous pouvez dépenser par an pendant 10 ?

La première dépense est situé dans un an.

Donc, à t=0, nous avons 30 000 euros = u0, à t=1, nous avons 30000*1.1 -5000 = u1, à t=2 nous avons 30000*u1 -5
et j'ai donc construit la suite (uk)=uk-1*1.1-5000 avec u0=30000.

l'idée c'est donc, si je comprends bien de trouver l'indice k tel que la suite devienne négative, et là, je suis bloqué, je ne sais pas comment faire.
À tâtons, j'ai trouvé 10 ans, mais sinon, je ne sais pas comment faire avec la problématique de récurrence.

Peut-être faut-il tout simplement faire autrement et je m'y prends mal.
Qu'en pensez-vous ?
Merci beaucoup
christophe

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Heu ... avec un rendement de 1%, c'est pas 1,1, mais 1,01.
    Rien n'est dit sur l'endroit où sont pris les 5000 €, pour simplifier, disons qu'ils sont pris au début de l'année, donc au début de l'année 1 il reste U0=29500 €, qui rapportent 1%, donc à la fin on a ... auxquels on enlève 5000 €, ce qui fait que au début de l'année 2 on a U1=U0+ ...-5000 = ... Puis cette somme rapporte 1%, ce qui donne .... et après avoir sorti 5000 €, au début de l'année 3 il reste U3 = ...

    C'est d'un niveau fin de primaire de faire les calculs avec les vraies valeurs, et de niveau fin de collège de mettre des variables. La seule chose qui est de ton niveau actuel est de noter avec des suites, et de généraliser pour trouver Un+1 = ... (en fonction de Un).

    Bonne réflexion personnelle.


    NB : la suite est du travail classique sur les suites arithmético-géométriques.
  • chris_51000
    chris_51000
    merci pour la précision 1% n'est pas 10% :)

    Par contre, oui, la notation suite est assez claire, par contre, cela veut dire que je dois faire tous les calculs un a un pour trouver à partir de quel indice la suite devient négative. J'ai trouvé 6 ans.

    j'ai bien Un=Un-1*1.01 - 5000 et U0=25300
    je n'arrive pas a avoir U0=29500, au début de l'année 1, j'aurai 30000*1.01-5000=25300

    Mais, n'y a t il pas une méthode qui exprimerait (Un) en fonction de U0 sans que l'on puisse faire tous les calculs et qui permettrai directement sans faire tous les calculs de trouver directement le changement signe du terme Un.

    Je ne sais pas si je m'exprime bien.
  • acetonik
    acetonik
    Bonjour,

    Tu peux montrer que la suite définie par $v_n=u_n-500000 $ est géométrique pour expliciter $u_n$ en fonction de n et $u0 $ uniquement , mais ici on peut aussi calculer tous les termes positifs (en gros 7 termes) pour conclure
    Bon courage
  • gerard0
    gerard0
    "au début de l'année 1, j'aurai 30000*1.01-5000" ?? Tu as trouvé un placement qui te donne immédiatement 1% ? Généralement, avec 1% par an, il faut attendre 1 an pour obtenir les 1%.

    Cordialement.
  • chris_51000
    chris_51000
    Bonjour
    Pour information, je vous mets en pièce jointe, mon énoncé.
    J'ai réussi à trouver le premier résultat, mais mathématiquement, je ne suis pas sûr que ça soit du niveau terminale.
    J'ai franchement beaucoup de mal à trouver une réponse sans utiliser les outils de solver excel ...

    Merci pour toute vos réponses, néanmoins, je n'ai pas réussi à trouver une formule simple pour répondre à la question.
    Bonne journée
    Christophe.81312
  • gerard0
    gerard0
    Ok,

    mais il aurait fallu donner tout de suite l'énoncé, tu avais fait sauter la phrase qui dit que l'on ne dépense rien la première année. Qui rectifie la phrase précédente, la seule que tu citais X:-(
  • acetonik
    acetonik
    Pour la première question tu as bien démarré les calculs et tu peux recommencer , je ne fais pas ton exercice , tu sauras le terminer.
    ( indication: la dernière dépense qui épuise ton avoir est de 1 096,38 €)


    Pour la seconde question c'est plus difficile si tu n'a pas fait de maths financières
    Il faut calculer le montant constant $a$ que l'on peut dépenser, et pour cela tu dois raisonner en termes de valeurs actuelles des 10 dépenses que tu effectueras.
    La $k$ieme annuité $a$ qui sera dépensée a pour valeur actuelle ( aujourd'hui) $v_k = a( 1+ 0.01)^{-k}$
    La somme $S$ de ces valeurs actuelles doit donner le capital actuellement disponible soit $C=30000 € $

    Si l'on pose $q=(1+i)^{-1}=1,01^{-1}$ et $S$ la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique de 1er terme $a q$ et de raison $q$
    on obtient $C= a q \dfrac{1- q^{10} }{1-q } = a (1+i)^{-1} \dfrac{1-(1+i)^{-10}}{1-(1+i)^{-1}} $

    $ C = a \dfrac{1-(1+i)^{-10}}{i} $ ce qui donne $a=3167,46 €$
  • chris_51000
    chris_51000
    Merci beaucoup !!!!!!
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