Transformation de Fourier
Réponses
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up X:-(
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on a $\delta_a=(2 \pi)^{-1} \overline{F}F \delta_a$ et après je ne retrouve pas $Ff$ vu que $F \delta_a= e^{-iax}$ et pas $e^{iax}$.
Comment faire? -
$e^{-iax}=e^{ibx}$ avec $b=-a$.
Cordialement. -
Bonjour Gerard,
même avec ce changement, on n'obtient pas $F f$ :-( -
$\mathcal{F}[g] = h$ implique $\mathcal{F}[h]=\mathcal{F}[\mathcal{F}[g]] = 2\pi g(-.)$
Ici $g (x) = \delta(x-a), g(-x) = \delta(-x-a) = \delta(x+a)$ -
La notation $\delta(x-a)$ me parait bizarre. :-S
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Les distributions tempérées ne sont pas des fonctions mais des limites de suites de fonctions (limite dans une certaine topologie) :
$\langle T,\phi \rangle = \lim_{n \to \infty} \int_{-\infty}^\infty T \ast \psi_n(x) \phi(x)dx$ où $\psi_n(x) = n e^{-\pi x^2n^2}$, donc $T = \lim_{n \to \infty} T \ast \psi_n$ et utiliser les notations $T(x),T(x-a),T(-x-a), T(x^2)...$ est cohérent et usuel. -
Est-ce qu'il y a une écriture plus simple?
on a
$$
\delta_{-a}=(2 \pi)^{-1} \overline{F}(e^{iax}) =(2 \pi)^{-1} \overline{F}f \implies \overline{F}f=(2 \pi) \delta_{-a}.
$$
alors on a $Ff(-\xi)= (2 \pi) \delta_{-a}$. Le fait d'appliquer Fourier de $f$ au point $-\xi$ et non $\xi$ me perturbe. Comment on obtient $Ff$ au lieu de $\overline{F}f$?
Cordialement -
Mati,
en notant $s : x\mapsto -x$, $Ff(-\xi)= Fg(\xi)$ avec $g=f\circ s$. On a bien la TF d'une fonction connue.
Cordialement. -
On obtient $Fg$ mais ce qu'on cherche c'est $Ff$. Comment de la relation $\overline{F}f=(2 \pi) \delta_{-a}$ on déduit $Ff$ ?
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Bonjour!
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