Intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^a}dx$
Pour calculer l'intégrale $\int_0 ^{+\infty} \frac{1}{1+x^a}dx$ avec $a>1$
On propose le chemin $\gamma$ qui délimite le domaine $D=\{ re^{i \theta} | 0\leq \theta \leq \frac{2\pi}{a} | \epsilon \leq r \leq R \}$ avec $R>1$ et $0< \epsilon<1$
On demande de calculer $\int_\gamma \frac{1}{1+z^a}dz$ et de conclure.
Dans le domaine $D$, la fonction $f : z \rightarrow \frac{1}{1+z^a}$ possède un seul pôle simple en $e^{i \pi/a}$
Donc $Res(f, e^{i \pi/a})= \frac{1}{a\times (e^{i \pi/a})^{a-1}}$
D'après le théorème des résidus,
$\int_\gamma \frac{1}{1+z^a}dz=2\pi i \times Res(f, e^{i \pi/a})= 2\pi i \times \frac{1}{a\times e^{i \pi (1-1/a)}}= 2\pi i \times \frac{1}{a} \times e^{i \pi (1/a-1)}=\frac{2\pi}{a} (-i \cos(\pi/a)+\sin(\pi/a))$
S'agit-il ensuite de faire tendre $R$ vers $+\infty$ et $\epsilon$ vers $0$ et d'en déduire $\int_0 ^{+\infty} \frac{1}{1+x^a}dx$ ?
On propose le chemin $\gamma$ qui délimite le domaine $D=\{ re^{i \theta} | 0\leq \theta \leq \frac{2\pi}{a} | \epsilon \leq r \leq R \}$ avec $R>1$ et $0< \epsilon<1$
On demande de calculer $\int_\gamma \frac{1}{1+z^a}dz$ et de conclure.
Dans le domaine $D$, la fonction $f : z \rightarrow \frac{1}{1+z^a}$ possède un seul pôle simple en $e^{i \pi/a}$
Donc $Res(f, e^{i \pi/a})= \frac{1}{a\times (e^{i \pi/a})^{a-1}}$
D'après le théorème des résidus,
$\int_\gamma \frac{1}{1+z^a}dz=2\pi i \times Res(f, e^{i \pi/a})= 2\pi i \times \frac{1}{a\times e^{i \pi (1-1/a)}}= 2\pi i \times \frac{1}{a} \times e^{i \pi (1/a-1)}=\frac{2\pi}{a} (-i \cos(\pi/a)+\sin(\pi/a))$
S'agit-il ensuite de faire tendre $R$ vers $+\infty$ et $\epsilon$ vers $0$ et d'en déduire $\int_0 ^{+\infty} \frac{1}{1+x^a}dx$ ?
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Réponses
Fais un dessin (si ce n'est pas déjà fait) et tu verras que tu peux décomposer ton intégrale en $z$ sur $\gamma$ en faisant apparaître $\int_{0}^{R} \frac{1}{1+x^a} dx$ qui est ce que tu cherches lorsque $R \rightarrow +\infty$, il ne reste plus à faire un sort au reste de la décomposition lorsque $R \rightarrow +\infty$.
D'accord avec anthomedal , mais pour répondre à la question il faut aussi faire tendre $\epsilon$ vers $0$.
Il n'y a cependant aucun problème en $0$ (a>1) , et il était inutile d'introduire dans le texte l'arc de rayon $\epsilon$.
Cordialement
Edit
$ I=\dfrac{\frac{\pi}{a}}{\sin \frac{\pi}{a}}$
J'ai fait un dessin.
$\gamma$ est un chemin qui peut être décomposé en 4 chemins :
$\gamma_1$ le segment $[\epsilon; R]$
$\gamma_2$ l'arc de cercle de centre $0$, de rayon $R$ et d'angle dans $[0;\frac{2\pi}{a}]$
$\gamma_3$ le segment allant de $Re^{i \frac{2\pi}{a}}$ à $\epsilon e^{i \frac{2\pi}{a}}$
$\gamma_4$ l'arc de cercle de centre $0$, de rayon $\epsilon$ et d'angle dans $[0;\frac{2\pi}{a}]$
$\int_{\gamma} \frac{1}{1+z^a}dz=\int_{\gamma_1} \frac{1}{1+z^a}dz+ \int_{\gamma_2} \frac{1}{1+z^a}dz+ \int_{\gamma_3} \frac{1}{1+z^a}dz +\int_{\gamma_4} \frac{1}{1+z^a}dz$
D'après le théorème de Jordan :
Puisque $\lim_{|z| \rightarrow +\infty} |z f(z)|=0$ alors $\lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma_2} \frac{1}{1+z^a}dz =0$
Puisque $\lim_{|z| \rightarrow 0} |z f(z)|=0$ alors $\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{\gamma_4} \frac{1}{1+z^a}dz =0$
$\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^a}dx=\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma_1} \frac{1}{1+z^a}dz$
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma} \frac{1}{1+z^a}dz=\frac{2\pi}{a} (-i \cos(\pi/a)+\sin(\pi/a))$ car cette intégrale ne dépend pas de $\epsilon$ et de $R$.
Je ne sais pas ce que vaut $\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma_3 } \frac{1}{1+z^a}dz$
Est-ce que cela signifierait que $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^a}dx$ vaut la partie réelle de $\frac{2\pi}{a} (-i \cos(\pi/a)+\sin(\pi/a))$?
Après passage à la limite tu dois trouver :
$\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{1+x^a}dx- \int_0^{+\infty}\dfrac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+x^a}dx=- \dfrac{2 i \pi}{a} e^{i\frac{\pi}{a}}$
(il est préférable de garder le résidu sous forme exponentielle).
Edit:
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma_3 } \frac{1}{1+z^a}dz = - \int_0^{+\infty}\dfrac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+x^a}dx$
il suffit de poser $z=x e^{i\frac{2\pi}{a}}$ en regardant bien les bornes et le sens de parcours.
on pose $z=re^{i\theta}$ avec $z \in \gamma_3$ alors $z=re^{i\frac{2\pi}{a}}$ avec $r$ allant de $R$ à $\epsilon$
$dz=e^{i\frac{2\pi}{a}} dr$
$ \int_{\gamma_3 } \frac{1}{1+z^a}dz= \int_{R}^{\epsilon} \frac{1}{1+(re^{i\frac{2\pi}{a}})^a} \times e^{i\frac{2\pi}{a}} dr= \int_{R}^{\epsilon} \frac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+r^a} dr = - \int_{\epsilon}^{R} \frac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+r^a} dr = - \int_{\epsilon}^{R} \frac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+x^a} dx$
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{\gamma_3 } \frac{1}{1+z^a}dz =
\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \lim_{R \rightarrow +\infty} - \int_{\epsilon}^{R} \frac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+x^a} dx=- \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+x^a} dx
$
On pose $I=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^a} dx$
Après passage à la limite, on obtient :
$\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{1+x^a}dx- \int_0^{+\infty}\dfrac{e^{i\frac{2\pi}{a}}}{1+x^a}dx=- \dfrac{2 i \pi}{a} e^{i\frac{\pi}{a}}$
$I- e^{i\frac{2\pi}{a}}I=- \dfrac{2 i \pi}{a} e^{i\frac{\pi}{a}}$
$I(1-e^{i\frac{2\pi}{a}})=- \dfrac{2 i \pi}{a} e^{i\frac{\pi}{a}}$
$I=\frac{- \dfrac{2 i \pi}{a} e^{i\frac{\pi}{a}}}{1-e^{i\frac{2\pi}{a}}}$
Tu as trouvé pendant que je précisais les choses avec un edit dans le message précédent.
$I=\dfrac{\frac{\pi}{a}}{\sin \frac{\pi}{a}}$
Bonne soirée.
Multiplier par $-e^{-i\frac{\pi}{a}}$ le numérateur et le dénominateur et reconnaitre l'inverse du sinus ( formule d' Euler) suffit.
$I=\dfrac{- \dfrac{2 i \pi}{a} e^{i\frac{\pi}{a}}}{1-e^{i\frac{2\pi}{a}}}=\dfrac{\frac{ \pi}{a} 2 i }{e^{i\frac{\pi}{a}}-e^{-i\frac{\pi}{a}}}=\dfrac{\dfrac{\pi}{a}}{\sin \dfrac{\pi}{a}}$