Une série pas tout à fait entière
dans Analyse
Bonjour,
Ce message, et plus particulièrement l'ensemble qui est proposé dans l'indicatrice m'a rappelé un exercice amusant : montrer que la série \[ \sum_{n\geq 1} \dfrac{E(\sqrt{n+1}) - E(\sqrt{n})}{n}, \] où $E$ est la partie entière, converge et calculer sa valeur.
Ce message, et plus particulièrement l'ensemble qui est proposé dans l'indicatrice m'a rappelé un exercice amusant : montrer que la série \[ \sum_{n\geq 1} \dfrac{E(\sqrt{n+1}) - E(\sqrt{n})}{n}, \] où $E$ est la partie entière, converge et calculer sa valeur.
Réponses
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Le numérateur est égal à $1$ si $n+1$ est un carré parfait et $0$ sinon, d'où la convergence de la série, puis, si $S$ désigne sa somme
$$S = \sum_{m=2}^\infty \frac{1}{m^2-1} = \frac{3}{4}.$$
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