Méthode de Laplace non triviale

Bonjour,

Très difficile. La méthode de Laplace ne s’applique pas puisque la fonction $f: x\mapsto \sqrt{-x \ln x}, 0\leq x\leq 1$ possède un unique maximum en $1/e$ qui est la borne supérieure de l’intégrale.
On travaille par minoration et majoration de l’intégrale et on conclut par le théorème des gendarmes.

Confirmez-vous ?

La fonction $f$ est définie sur $\displaystyle [0,1]$ et comme $\displaystyle 1/e<1$, l’intégrande est continu sur $\displaystyle [0,1/e]$ pour tout $t$ réel : l’intégrale $\displaystyle F(t)=\int_0^{1/e} \exp(-t f(y)) dy $ existe pour $t$ réel.
La fonction $f$ est dérivable et $\displaystyle f’(y)=-{\ln y+1\over 2 \sqrt{y \ln y}}$ avec un maximum en $\displaystyle 1/e.$ La fonction est croissante sur $\displaystyle [0,1/e].$
On impose $\displaystyle t>0$ quelconque pour minorer et majorer.
On note $\displaystyle \tau \in ]0,1/e[$ un réel quelconque. On sait que $\displaystyle e^{-u}\geq 1-u, u\geq 0.$ Comme l’intégrande est positif, $\displaystyle \int_0^{1/e} \geq \int_0^\tau$ et comme la fonction $f$ est croissante : $\displaystyle F(t)\geq \tau (1-t f(\tau))=m(t).$
La relation de Chasles donne $\displaystyle \int_0^{1/e}=\int_0^\tau+\int_\tau^{1/e}$. On a $\displaystyle e^{-u}\leq 1,u\geq 0$ et la croissance de la fonction $f$ donne : $\displaystyle F(t)\leq \tau +(1/e-\tau) \exp(-t f(\tau))=M(t).$
On spécifie alors $\displaystyle \tau ={a\over t^2\ln t}, a>0$ que l’on trouve par tâtonnement...
On reporte et on calcule, avec $\displaystyle a\neq 1/2$ : $\displaystyle m(t)\sim a{1-\sqrt{2a}\over t^2\ln t},(t\to +\infty)$ et erreur de calcul : $\displaystyle M(t)\sim {a\over t^2 \ln t}$ + $\displaystyle \exp(-(1+\sqrt{2a})),(t \to +\infty).$
Il suffit d’imposer $\displaystyle 1-\sqrt{2 c}=\exp(-(1+\sqrt{2c}))$ qui admet une unique solution positive : c.-à-d. $\displaystyle c=0,35\,398(1).$
On a donc établi que $\displaystyle \int_0^{1/e} \exp(-t \sqrt{-y\ln y}) dy \sim {c\over t^2 \ln t},(t \to +\infty), c=0,35\,398(1).$

Bonjour,

Tu as raison de douter, j'ai fait une erreur de calcul à la con : un signe $+$ remplacer par un signe $\times$ : il faut le faire !

J'ai remarqué que la fonction $f$ est concave sur $\displaystyle ]0,1/e]$ puisque $\displaystyle f''(x) = -{1 + \ln^2 x \over 4(-x \ln x)^{3/2}}<0.$ Mais je ne sais pas l'utiliser. Par ailleurs, on peut utiliser deux fonctions $\tau$ selon $t$ différents pour la minoration et pour la majoration...

Bonjour,

Ma dernière phrase pour dire qu'on peut utilise une fonction $\tau=a(t)$ pour la minoration $m(t)$ et une autre fonction $\tau=b(t)$ pour la majoration $M(t)$ puisque les majoration et minoration sont vraies pour tous les $\tau.$

Je pense que la forme asymptotique est correcte $F(t) \sim {a \over t^2 \ln t}, (t \to +\infty), a>0$ mais mes inégalités ne permettent pas de l'établir. La majoration est trop brutale, il faut être plus précis.