Série divergente ou convergente ?

Shimasiike
Shimasiike
dans Analyse
Salut
Comment peut-on dire que la série de Un=(-1)n/(n1/2+(-1)n ) converge ou diverge ???

Réponses

  • Dom
    Dom
    J'écris la formule :

    $U_n=\frac{(-1)^n}{n^{\frac{1}{2}}+(-1)^n}$

    Est-ce la bonne expression ?
  • Shimasiike
    Shimasiike
    Ui Oui c'est ça.
  • acetonik
    acetonik
    Que dire du signe du dénominateur pour n>=2 ?
    La série est alternée... mais peut-on appliquer le critère spécial ?
  • Shimasiike
    Shimasiike
    On va démontrer si elle est divergente ou convergente pour tt n supérieur ou égale 2
  • Dom
    Dom
    J'ai utilisé un Développement Limité et si je n'ai pas fait d'erreur, je trouve que la série diverge.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quantité conjuguée. Critère des séries alternées. Critère de Riemann. Divergence.
  • Math Coss
    Math Coss
    L'expression « divergente ou convergente pour tout $n$ supérieur ou égal à $2$ » n'a pas de sens. Ce n'est pas pour un $n$ fixé qu'il se passe quelque chose, c'est la suite tout entière qui définit la convergence de la série.

    Cela dit, elle est divergente. Pourquoi au fait ?
  • Shimasiike
    Shimasiike
    Montrez-moi votre solution s'il vous plaît.
  • Dom
    Dom
    On peut appliquer le DL(0) de $\dfrac{1}{1+u}$ à $\displaystyle \frac{1}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}$.

    En poussant jusqu'à un ordre suffisant puis en récrivant avec ce DL(0) le terme général qui nous intéresse on obtient une somme de plusieurs termes ("généraux") dont chaque série est convergente sauf une seule qui est le terme général de la série harmonique $\frac{1}{n}$.
  • gerard0
    gerard0
    C'est quand même paradoxal de demander un corrigé aux autres (contrairement au règlement du forum), et d'avoir comme signature "My life does not depend on any one" !!!

    Mets-toi au travail, Shimasiike !
  • Crapul
    Crapul
    Tiens c'est un contre-exemple que j'avais bien aimé faire avec mes étudiants : ça ressemble à $\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ qui converge et pourtant...
    Je proposais de justement évaluer la différence $\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-u_n$.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    le terme général de la série s'écrit pour n > 1 :

    $u_n = 1 - \frac{1}{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}$

    tu fais un développement limité à l'ordre 2 soit :

    $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} + epsilon/n$

    et ta série diverge vers - oo
    comme la somme harmonique $H_n$ affectée du signe moins

    cordialement
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