Matrice et endomorphisme

math65 · October 2018

Bonjour

1) J'ai deux endomorphismes diagonalisables de Rⁿ qui commutent. On me demande de montrer que tout sous-espace propre de u est stable par v.

2) Je dois en déduire que chaque espace propre de u possède une base composée de vecteur propre de v.

3) On doit en déduire que u et v sont diagonalisable dans la même base de Rⁿ

4) Dans une autre question, on me demande de montrer que deux matrices diagonalisables commutent si est seulement si la matrice de passage de diagonalisation est la même.

La réciproque est facile mais je n'arrive pas le sens direct.

Crapul · October 2018

Bizarre, 1) 2) et 3) veulent dire que deux endomorphismes qui commutent sont diagonalisables...

GaBuZoMeu · October 2018

D'où l'on déduit que tout endomorphisme est diagonalisable, puisqu'il commute avec l'identité.
math65, ces blagues pour te dire que tu as oublié une hypothèse essentielle qui figure dans ton énoncé.

Rescassol · October 2018

Bonjour,

Et comme tout endomorphisme commute avec lui-même, on en déduit que ......................

Cordialement,

Rescassol

math65 · October 2018

1) ce que j'ai oublié cela doit être que u et v sont diagonalisables.

Soit $x$ appartenant au sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$

$u(x)=\lambda x$

$v(u(x))=v(\lambda x)= \lambda v(x)$

$u(v(x))=\lambda v(x)$

Donc $v(x)$ est un vecteur propre du sous espace propre associé à $\lambda$

Donc tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$

2)
Soit $B_i$ la base de $E_{\lambda_i}$ le sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda_i$

Il faudrait créer une autre base $B_i'$ de $E_{\lambda_i}$ composée de vecteurs propres de $v$

Faut-il prendre les images par $v$ des éléments de $B_i$ pour obtenir les éléments de $B_i'$ ?

3) Si chaque sous-espace propre de $u$ possède une base de vecteur propre de $v$. L'union de ces base serait la base $B$ recherchée dans laquelle $u$ et $v$ seraient diagonalisables?

4) Pour montrer que si les matrices $A$ et $B$ de $M_n(\mathbb R)$ qui sont diagonalisables et commutent ont leurs matrices de passage égale:

J'écris $A=PDP^{-1}$ et $B=P'D'P'^{-1}$

Puisque $AB=BA$ alors $PDP^{-1}P'D'P'^{-1}=P'D'P'^{-1}PDP^{-1}$

Il faudrait réussir à montrer que $P'^{-1}P=Id$

5) Je dois montrer que les propositions suivantes sont équivalentes avec $S$ une matrice symétrique réelle:

a)S est définie positive
b)Toutes valeurs propres de $S$ sont strictement positives
c) il existe $M \in GL_n(\mathbb R)$ telle que $S =$$ ^tMM$
d) $S$ est positive et inversible

Déjà, il faut établir une stratégie de démonstration comme
a) $ \Leftrightarrow $ b)$ \Leftrightarrow$ c) $ \Leftrightarrow$ d) ?

bisam · October 2018

Le point 4) aussi est mal formulé car "la" matrice de passage de diagonalisation n'existe pas !
Il n'y a pas unicité : on peut toujours permuter les vecteurs, les multiplier par un scalaire non nul, voire en faire des combinaisons linéaires au sein d'un même sous-espace propre.

Tu dois avoir masqué une hypothèse, encore... Probablement celle qui permet de choisir LA bonne matrice de passage.

GaBuZoMeu · October 2018

Il est probable que l'énoncé a été mal transcrit, et qu'il dit plutôt que les matrices diagonalisables $A$ et $B$ commutent si et seulement s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ sont toutes les deux diagonales.

math65 · November 2018

1) J'ai deux endomorphismes diagonalisables de Rⁿ qui commutent. On me demande de montrer que tout sous-espace propre de u est stable par v.

Je pense que j'ai réglé cette question :

Soit $x$ appartenant au sous-espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$

$u(x)=\lambda x$

$v(u(x))=v(\lambda x)= \lambda v(x)$

$u(v(x))=\lambda v(x)$

Donc $v(x)$ est un vecteur propre du sous espace propre associé à $\lambda$

Donc tout sous-espace propre de $u$ est stable par $v$

2) Pour en déduire que tout sous-espace propre de $u$ possède une base composée de vecteurs propres de $v$ (avec $u$ et $v$, les deux endomorphismes diagonalisables de $\mathbb R^n$ avec $n \in \mathbb N$ qui sont de plus tels que $u(v)=v(u)$)

Je pense pouvoir invoquer le théorème suivant :

"si $u$ est un endomorphisme diagonalisable alors les sous-espaces stables sont exactement les sous-espaces engendrés par des vecteurs propre de $u$"

3) Pour déduire de la question 2), qu'il existe une base $B$ de $\mathbb R^n$ avec $n \in \mathbb N$ telle que les matrices de $u$ et $v$ dans cette base soient toutes les deux diagonales.

Je pense dire que la concaténation des bases des sous-espaces propres de $u$ forme une base de $R^n$ dans laquelle $u$ est diagonalisable.

D'autre part, si les bases des sous-espaces propres de $u$ sont formées de vecteurs propres de $v$ alors $v$ sera aussi diagonalisable dans $B$ mais pourquoi?

4) Voici une reformulation qui devrait convenir :

Dans une autre question, on me demande de montrer que deux matrices diagonalisables commutent si est seulement si elles sont diagonalisable au moyen d'une même matrice de passage.

Mais je me suis rendu compte que la question 3) permet de prouver le sens direct de cette proposition

En effet si $M$ est la matrice de $u$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$ et $M'$ la matrice de $v$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$ et que il existe une base $B$ de $\mathbb R^n$ avec $n \in \mathbb N$ tel que les matrices de $u$ et $v$ dans cette base soient toutes les deux diagonales.
Soit $P$, la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb R^n$ à $B$ .

On a alors $M=PDP^{-1}$ et $M'=PD'P^{-1}$ avec $D$ et $D'$ des matrices diagonales.

5) Il faut montrer que les propositions a) b) c) et d) sont équivalentes

Soit $S$ une matrice symétrique réelle:

a)S est définie positive
b)Toutes valeurs propres de $S$ sont strictement positives
c) il existe $M \in GL_n(\mathbb R)$ telle que $S =$$ ^tMM$
d) $S$ est positive et inversible
J'arrive à montrer facilement que :
a) $ \Leftrightarrow $ b)

Mais pour montrer les équivalences avec c) et d), je n'ai pas de piste.

math65 · November 2018

5) Soit $S$ une matrice symétrique réelle:

a)S est définie positive
b)Toutes valeurs propres de $S$ sont strictement positives
c) il existe $M \in GL_n(\mathbb R)$ telle que $S =$$ ^tMM$
d) $S$ est positive et inversible

Sachant que j'ai montré que a) $\Leftrightarrow$ b)

Pour montrer que a) $\Rightarrow$ d) :

$S$ est définie positive (d'après a) ) donc positive
D'autre part toutes les valeurs propres de $S$ sont positives strictement donc $det(S)$ vaut le produit de ces valeurs propres donc $det(S) \neq 0$ et $S$ est inversible.

Donc a) $\Rightarrow$ d)

Pour montrer que d) $\Rightarrow$ a) :

il faut réussir à montrer que si $^tXSX=0$ alors $X=0$

Poirot · November 2018

Tu devrais plutôt montrer que $d) \Rightarrow b)$. Ensuite $c)$ implique facilement $a)$, et partant de $b)$ et en utilisant le théorème spectral tu devrais obtenir $c)$ sans trop de peine.

math65 · November 2018

5)
Si on récapitule, on a déjà montrer que
a) $\Leftrightarrow$ b) et a) $\Rightarrow$ d)

Pour montrer que c) $\Rightarrow$ a)

$M \in GL_n(\mathbb R)$ telle que $S =$$ ^tMM$
Soit $X \in \mathbb R^{n*} $

$^tX$$^tMMX=$$^t(MX)MX=<MX|MX>$

Puisque $M$ est inversible et que $X \neq 0$ alors $MX \neq 0 $ car seul $M \times 0 = 0$

Ainsi $<MX|MX> >0$

$^tX$$^tMMX >0$

Ainsi c) $\Rightarrow$ a)

Pour montrer que a) $\Rightarrow$ c)

on suppose $S$ symétrique et définie positive.

Il existe une matrice $P$ orthogonale et une matrice $D=(d_{ij})$ diagonale telles que $S=$$^tPDP$

Toutes les valeurs propres de $S$ sont strictement positives et composent la diagonale de $D$. $D = D'^2$ avec $D'=(d'_{ij})$ diagonale telle que $d'_{ii}=\sqrt{d_{ii}}$ pour tout $i$ tel que $1 \leq i \leq n$

Ainsi $S=$$^tPD'D'P=$$^t(PD')PD'=$$^t M M$

avec $M=PD' \in GL_n (\mathbb R)$ car $P \in GL_n (\mathbb R)$ et $D' \in GL_n (\mathbb R)$

Ainsi a) $\Rightarrow$ c)

et a) $\Leftrightarrow$ c)

Pour montrer que d) $\Rightarrow$ b)

On suppose que $S$ est positive et inversible.

Donc toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.

Or $S$ est inversible donc $det(S) \neq 0$ or $det(S)$ vaut le produit des valeurs propres de $S$ donc aucune de ses valeurs propres ne peut être nulle.

Les valeurs propres de $S$ sont donc strictement positives.

Donc d) $\Rightarrow$ b)

Pour montrer que b) $\Rightarrow$ d)

On suppose que les valeurs propre de $S$ son strictement positives.

Donc $det(S) >0$ donc $S$ est inversible.

De plus $S$ est positive puisqu'elle est définie positive ( a) $\Leftrightarrow$ b) )

donc b) $\Rightarrow$ d)

On a donc
a) $\Leftrightarrow$ b)
b) $\Leftrightarrow$ d)
a) $\Leftrightarrow$ c)

Les propositions a), b), c) d) sont donc équivalentes

Poirot · November 2018

Ça m'a l'air bon. Tu n'as pas besoin de montrer à la fin $b) \Rightarrow d)$ à la fin car tu as déjà montré $a) \Rightarrow d)$ et $a) \Leftrightarrow b)$.

Matrice et endomorphisme

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