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eoghan · October 2018

Bonjour à tous, je me demande si ce résultat est vrai et si oui, comment le prouver.

Soit $x \in \mathbb{R}^+$, alors pour tout $a \in \mathbb{N}$ : $$ \lfloor{ax}\rfloor = a\lfloor{x}\rfloor$$

J'avais pensé à faire une récurrence, mais je n'arrive pas à exploiter la positivité de $x$.

noix de totos · October 2018

Faux : prendre par exemple $a=2$ et $x = \frac{1}{2}$.

eoghan · October 2018

Merci pour ce contre-exemple.

Poirot · October 2018

En fait ta propriété sera vérifiée si et seulement si $x - \lfloor x \rfloor < \frac{1}{a}$. En effet, celle-ci équivaut à $$a \lfloor x \rfloor \leq ax = a (x - \lfloor x \rfloor) + a\lfloor x \rfloor < a\lfloor x \rfloor +1$$ et donc à $$0 \leq a (x - \lfloor x \rfloor) < 1.$$

noix de totos · October 2018

De rien. En revanche, tu as toujours :
$$\forall x \in \mathbb{R}_+, \ \forall y \in \mathbb{R}_+, \ \ \lfloor x \rfloor \times \lfloor y \rfloor \leqslant \lfloor xy \rfloor.$$

Math Coss · October 2018

Autres arguments :

pour tout $x$, $a\lfloor x\rfloor$ est un multiple de $a$ : est-ce vrai de $\lfloor ax\rfloor$ ?
quels sont les points où la fonction $x\mapsto a\lfloor x\rfloor$ est discontinue ? et $x\mapsto\lfloor ax\rfloor$ ? (au passage, tu pourrais dessiner le graphe de ces deux fonctions...)

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