Continuité uniforme.
dans Analyse
Bonjour à tous. Je n'arrive pas à terminer la preuve de la propriété suivante.
Soit f : [a,+oo[-->R alors soit b € [a, +oo[, si f est uniformément continue sur [a,b[ et sur [b,+oo[ alors f est uniformément continue sur [a,+oo[.
Je pense d'ailleurs que cette propriété reste vraie pour f: I --> R ou I est un intervalle quelconque.
Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance !
Soit f : [a,+oo[-->R alors soit b € [a, +oo[, si f est uniformément continue sur [a,b[ et sur [b,+oo[ alors f est uniformément continue sur [a,+oo[.
Je pense d'ailleurs que cette propriété reste vraie pour f: I --> R ou I est un intervalle quelconque.
Quelqu'un peut-il m'aider ?
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Réponses
La fonction qui vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ sur $[1,+\infty[$ n'est pas uniformément continue alors qu'elle vérifie les hypothèses (avec a=0 et b=1)
Cela est-il correct ?
Il faut montrer que
$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x,y \in I, |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$
Donc soit $\epsilon > 0$
On sait que
1) $\exists \delta_A, \forall x,y \in A, |x-y| < \delta_A \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$
2) $\exists \delta_B, \forall x,y \in B, |x-y| < \delta_B \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$
Reste le cas où x est d'un coté, et y de l'autre. On se débrouille pour obtenir un $\epsilon_C$ qui convient dans ce cas, et puis pour conclure, on prend le max des trois epsilons
Dans le cas où x est d’un côté et y de l’autre je fixe l’un des deux et je choisi epsilon assez petit pour contraindre y a rejoindre x dans le « bon intervalle » ?
Je ne vois pas bien dans quelle mesure il est correct de fixer x, c’est sûrement trivial mais ça me bloque ...
De plus j’ai bien l’impression que mon delta dépendra de x et de y ...
Par contre, tu peux remarquer que $|f(x)- f(y)| \leq |f(x)-f(b)|+ |f(y)-f(b)|$,