Étude d'une série

Bonjour
Commence par justifier que : $$

\forall n\in\N^*,~\left\vert S-\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)}\right\vert = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^3e^k}

$$ Puis, justifie que : $$\forall k\in\N^*,~\dfrac{1}{k^3e^k}\leqslant \left(\dfrac{1}{e}\right)^k

$$ Ensuite, pour tout $n\in\N^*$, pour tout $N\geqslant n+1$, tu sommes membre à membre de $n+1$ à $N$, tu simplifies, puis tu fais tendre $N$ vers $+\infty$ en invoquant les bons arguments.

NB: Cet exercice a été posé à l'épreuve de l'Em Lyon Option économique en $2015$ (Exercice $2$).

Rebonjour,

Tu écris le taux d'accroissement de $f$ en $0$.
Tu te débarrasses du $\ln(1-x)$ apparaissant au dénominateur (du taux d'accroissement simplifié) par équivalent usuel.
Tu utilises un développement limité à l'ordre $2$ de $x\mapsto \ln(1-x)$ en $0$ au numérateur (du taux d'accroissement simplifié).
Tu montres que le taux d'accroissement de $f$ en $0$ est équivalent à une fonction de la forme $x\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2}+(x+1)\varepsilon(x)$ où $\varepsilon$ est une fonction définie au voisinage de $0$ de limite nulle en $0$.
Tu en déduis que $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=\dfrac{1}{2}$.

Cordialement,

NB: Cet exercice a été posé à l'épreuve de l'Edhec Option économique et scientifique en 2009 (Exercice 1).