Étude d'une série
Réponses
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Bonjour,
Remarque que $(n+1)^3 e^{n+1} \geq (e-1)e^n$ pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$. La diiférence que tu cherches à majorer est le reste de la série ($f$ est croissante sur $\mathbb{R}_+$. -
Bonjour
Commence par justifier que : $$
\forall n\in\N^*,~\left\vert S-\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)}\right\vert = \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^3e^k}
$$ Puis, justifie que : $$\forall k\in\N^*,~\dfrac{1}{k^3e^k}\leqslant \left(\dfrac{1}{e}\right)^k
$$ Ensuite, pour tout $n\in\N^*$, pour tout $N\geqslant n+1$, tu sommes membre à membre de $n+1$ à $N$, tu simplifies, puis tu fais tendre $N$ vers $+\infty$ en invoquant les bons arguments.
NB: Cet exercice a été posé à l'épreuve de l'Em Lyon Option économique en $2015$ (Exercice $2$). -
merci pour les indications. Je vais essayer
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Rebonjour,
J'ai réussi. Merci
Par contre, je bloque sur autre chose:
On a :f(x) = -x / ( (1-x)ln(1-x))
J'ai montré la continuité de f en 0. f(0)=1
Je bloque sur la dérivabilité en 0.
J'ai fait un développement limité à l'ordre 2 de ln(1-x), mais ça le fait pas.
Merci de me guider -
Bonjour Alban,
pour la dérivabilité en un point, il me semble qu'il faut utiliser un taux d'accroissement ;-) Connaissez-vous la formule ?
Bonne soirée. -
Rebonjour,
Tu écris le taux d'accroissement de $f$ en $0$.
Tu te débarrasses du $\ln(1-x)$ apparaissant au dénominateur (du taux d'accroissement simplifié) par équivalent usuel.
Tu utilises un développement limité à l'ordre $2$ de $x\mapsto \ln(1-x)$ en $0$ au numérateur (du taux d'accroissement simplifié).
Tu montres que le taux d'accroissement de $f$ en $0$ est équivalent à une fonction de la forme $x\mapsto \dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{2}+(x+1)\varepsilon(x)$ où $\varepsilon$ est une fonction définie au voisinage de $0$ de limite nulle en $0$.
Tu en déduis que $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=\dfrac{1}{2}$.
Cordialement,
NB: Cet exercice a été posé à l'épreuve de l'Edhec Option économique et scientifique en 2009 (Exercice 1). -
La vitesse de vos réponses lol J'avais trouvé finalement.
Mieux que lucky luke!
Merci et bonne soirée
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Bonjour!
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