Identité de Parseval

La convergence que tu consideres ici est la convergence $L^2$, ce n'est pas une convergence point par point. Si tu prends $f(t)=\pi$ sur $[\pi/2,\pi/2]$ et zero ailleurs la serie de Fourier est sauf erreur de calcul $$f(t)=1+\sum_{p=1}^{\infty}\frac{(-1)^{p-1}}{2p-1}\cos(2p-1)t\ \ (*)$$
mais cette egalite au sens $L^2$ signifie seulement
$$\lim_N\int_{-\pi}^{\pi}\left(f(t)-(1+\sum_{p=1}^N\frac{(-1)^{p-1}}{2p-1}\cos(2p-1)t\right)^2dt
=\lim_N\sum_{p=N+1}^{\infty} \frac{2}{(2p-1)^2} = 0.$$ Si tu veux interpreter (*) pour un $t$ fixe au sens de la convergence des series on dispose du Theoreme de Dirichlet de ton cours. Le grand Lennart Carleson a demontre seulement en 1965 que la serie de Fourier d'une fonction de $L^2$ convergeait au sens ponctuel, mais pour seulement presque tout $t$ cad sauf sur un ensemble de mesure nulle.

Tryss, j'ai un doute sur ce que tu dis sur l'ensemble des points de discontinuite d'une fonction de $ L^2$ qui serait de mesure nulle. Prends l'ensemble $R$ des rationnels de $]0.1$[ $c$ un nombre assez petit comme $c<6/\pi^2$ et le sous ensemble $A$ de $]0,1[$ suivant
$$A=\bigcup_{p/q\in R}]\frac{p}{q}-\frac{c}{q^3},\frac{p}{q}+\frac{c}{q^3}[$$ C\est un ouvert partout dense dans $]0.1[$ mais son complementaire $B$ est de mesure positive. La fonction qui vaut $1 $ sur $B$ est zero ailleur n'a aucun point de continuite, et etant bornee elle est dans $L^2$ de $]0,1[.$

@P. : effectivement, j'ai mélangé avec la caractérisation des fonctions Riemann intégrables