Identité de Parseval
dans Analyse
Bonjour,
Dans un espace de Hilbert $x=\sum_{n=0}^{\infty}(x|e_n)e_n$
En appliquant cela à l'espace des fonctions L2 periodiques on devrait obtenir la convergence de la série de Fourier de n’importe quelle fonction. Cependant, si la fonction $f$ est discontinue la limite de la série de Fourier est tout de même définie au point de discontinuité et vaut $\frac{f(x+)+f(x-)}{2}$ par conséquent ces deux fonctions ne peuvent pas être égales ce qui est incohérent avec la première formule.
Merci de m'aider à lever cette incompréhension.
[En toute occasion Joseph Fourier (1768-1830) prend toujours une majuscule. AD]
Dans un espace de Hilbert $x=\sum_{n=0}^{\infty}(x|e_n)e_n$
En appliquant cela à l'espace des fonctions L2 periodiques on devrait obtenir la convergence de la série de Fourier de n’importe quelle fonction. Cependant, si la fonction $f$ est discontinue la limite de la série de Fourier est tout de même définie au point de discontinuité et vaut $\frac{f(x+)+f(x-)}{2}$ par conséquent ces deux fonctions ne peuvent pas être égales ce qui est incohérent avec la première formule.
Merci de m'aider à lever cette incompréhension.
[En toute occasion Joseph Fourier (1768-1830) prend toujours une majuscule. AD]
Réponses
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Je pense que ton incompréhension est liée à la pluralité des modes de convergence.
Quand tu écris "convergence de la série de Fourier", il faut que tu aies conscience que c'est extrêmement vague ! -
Ce que je veux dire c'est qu'on devrait avoir $f=\sum_{n=0}^{\infty}(f|e_n)e_n$
En l’occurrence $(f|e_n)=c_n$ sont les coefficients de Fourier. Pourtant cette égalité est fausse aux points de discontinuité. -
Mais l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction $L^2$ est de mesure nulle, donc $f= \sum_{n=0}^\infty (f|e_n) e_n $ presque partout, c'est à dire que l'on a égalité dans $L^2$ (puisque qu'il y a égalité presque partout)
-
La convergence que tu consideres ici est la convergence $L^2$, ce n'est pas une convergence point par point. Si tu prends $f(t)=\pi$ sur $[\pi/2,\pi/2]$ et zero ailleurs la serie de Fourier est sauf erreur de calcul $$f(t)=1+\sum_{p=1}^{\infty}\frac{(-1)^{p-1}}{2p-1}\cos(2p-1)t\ \ (*)$$
mais cette egalite au sens $L^2$ signifie seulement
$$\lim_N\int_{-\pi}^{\pi}\left(f(t)-(1+\sum_{p=1}^N\frac{(-1)^{p-1}}{2p-1}\cos(2p-1)t\right)^2dt
=\lim_N\sum_{p=N+1}^{\infty} \frac{2}{(2p-1)^2} = 0.$$ Si tu veux interpreter (*) pour un $t$ fixe au sens de la convergence des series on dispose du Theoreme de Dirichlet de ton cours. Le grand Lennart Carleson a demontre seulement en 1965 que la serie de Fourier d'une fonction de $L^2$ convergeait au sens ponctuel, mais pour seulement presque tout $t$ cad sauf sur un ensemble de mesure nulle. -
Merci pour vos réponses.
Si j'ai bien compris, l'erreur venait du fait que l'égalité dans $L^2$ n'est pas l'égalité point par point mais l'égalité presque partout.
Autrement dit on définit $ f = g$ si $\| f - g \| = 0$ (la norme étant la norme usuelle dans $L^2$). -
Tryss, j'ai un doute sur ce que tu dis sur l'ensemble des points de discontinuite d'une fonction de $ L^2$ qui serait de mesure nulle. Prends l'ensemble $R$ des rationnels de $]0.1$[ $c$ un nombre assez petit comme $c<6/\pi^2$ et le sous ensemble $A$ de $]0,1[$ suivant
$$A=\bigcup_{p/q\in R}]\frac{p}{q}-\frac{c}{q^3},\frac{p}{q}+\frac{c}{q^3}[$$ C\est un ouvert partout dense dans $]0.1[$ mais son complementaire $B$ est de mesure positive. La fonction qui vaut $1 $ sur $B$ est zero ailleur n'a aucun point de continuite, et etant bornee elle est dans $L^2$ de $]0,1[.$ -
J'ai trouvé un passage éclairant dans la suite du cours.
En fait $L^2$ n'est pas simplement l'espace des fonctions de carré mesurable. C'est l'espace des fonctions de carré mesurable quotienté par la relation d’équivalence $f$ $ \R $ $g$ si $f=g$ presque partout.
Pour conclure l'explication il faudrait donc montrer que l'espace des fonctions de carré mesurables (qui n'est donc pas $L^2$) n'est, quant à lui, pas un espace de Hilbert.
C'est notamment le cas car sa "norme" ne vérifie pas l'axiome de séparabilité.
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