Question sur la convergence des suites

Tout dépend du sens que tu donnes aux $\longrightarrow$...

Rebonjour,

C'est toujours assez vague.

Faut-il envisager cette question dans le cadre le plus général ?
(Un espace topologique $(E,T_E)$ quelconque, avec $E^2$ non nécessairement muni de la topologie produit, $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ deux suites à valeurs dans $E$)

Ou as-tu des hypothèses concernant les topologies mises en jeu ?

Quelle topologie considères-tu sur $E\times E$ (où $\left(E,\left\|.\right\|_{E}\right)$ est l'espace vectoriel normé dans lequel les suites $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ prennent leurs valeurs).

As-tu par exemple muni le produit cartésien $E\times E$ d'une norme particulière (et donc d'une topologie particulière?) ?

Considères-tu par exemple sur $E\times E$ la topologie découlant de la norme suivante
$$\left\|.\right\|_{E\times E}:~(x,y)\mapsto \max\left(\left\|x\right\|_{E},\left\|y\right\|_{E}\right)$$

Ok, par défaut, on munit un produit d'espaces vectoriels normés de la norme produit correspondante (cf mon message précédent).
Donc, la réponse à ta question initiale est OUI: démontre cette équivalence à titre d'exercice (c'est très facile !)