Question sur la convergence des suites
Réponses
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Tout dépend du sens que tu donnes aux $\longrightarrow$...
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Convergence, si $(x_n)$ converge vers $x $ et $ (y_n)$ converge vers $ y$, alors $(x_n,y_n)$ converge vers $(x,y)$ et inversement.
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Rebonjour,
C'est toujours assez vague.
Faut-il envisager cette question dans le cadre le plus général ?
(Un espace topologique $(E,T_E)$ quelconque, avec $E^2$ non nécessairement muni de la topologie produit, $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ deux suites à valeurs dans $E$)
Ou as-tu des hypothèses concernant les topologies mises en jeu ? -
la maintenant je travaille sur un espace normé.
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Quelle topologie considères-tu sur $E\times E$ (où $\left(E,\left\|.\right\|_{E}\right)$ est l'espace vectoriel normé dans lequel les suites $(x_n)_n$ et $(y_n)_n$ prennent leurs valeurs).
As-tu par exemple muni le produit cartésien $E\times E$ d'une norme particulière (et donc d'une topologie particulière?) ?
Considères-tu par exemple sur $E\times E$ la topologie découlant de la norme suivante
$$\left\|.\right\|_{E\times E}:~(x,y)\mapsto \max\left(\left\|x\right\|_{E},\left\|y\right\|_{E}\right)$$ -
J'ai uniquement E et F deux espaces de Banach, (x_n) dans E et (y_n) dans F c'est tout
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Ok, par défaut, on munit un produit d'espaces vectoriels normés de la norme produit correspondante (cf mon message précédent).
Donc, la réponse à ta question initiale est OUI: démontre cette équivalence à titre d'exercice (c'est très facile !) -
ok merci beaucoup
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