Continuité à droite
Bonjour,
Si je prends une fonction $f$ croissante sur $\mathbb{R}$ et que je veux montrer sa continuité à droite en tout point $a \in \mathbb{R}$, il me suffit de prendre une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui décroît vers $a$, et montrer que la limite de $f(a_n)$ est $f(a)$ au voisinage de l'infini.
Cependant, je ne vois pas comment une fonction croissante peut contenir une suite d'éléments strictement décroissante.
Je pense qu'il me faudrait un exemple ou un dessin pour mieux visualiser la chose.
Merci à vous.
Si je prends une fonction $f$ croissante sur $\mathbb{R}$ et que je veux montrer sa continuité à droite en tout point $a \in \mathbb{R}$, il me suffit de prendre une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui décroît vers $a$, et montrer que la limite de $f(a_n)$ est $f(a)$ au voisinage de l'infini.
Cependant, je ne vois pas comment une fonction croissante peut contenir une suite d'éléments strictement décroissante.
Je pense qu'il me faudrait un exemple ou un dessin pour mieux visualiser la chose.
Merci à vous.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Fonction croissante : pour tout $x$, $y$, Si $x\leq y$, alors $f(x)\leq f(y)$.
La suite $(a_n)_n$ est décroissante : pour tout $n$, $a_{n+1}\leq a_n$.
Donc : pour tout $n$, $f(a_{n+1})\leq f(a_n)$ et la suite $(f(a_n))_n$ est décroissante.
Comme tu approches le nombre $a$ "par la droite", la suite des images décroit (arrive par la droite).
Cependant, il n'est pas vrai qu'une fonction croissante est toujours continue à droite, je ne sais pas si tu voulais parler d'un exemple particulier. Dans tous les cas, si $(a_n)_n$ est une suite décroissante convergeant vers $a \in \mathbb R$, alors avec ce qu'a dit Dom, la suite $(f(a_n))_n$ est décroissante. De plus elle est minorée par $f(a)$, donc elle converge, mais rien ne dit que ce soit vers $f(a)$.