Convergence ?

Simeon-urbain · November 2018

Bonjour,
une aide pour. Merci S_U 81958

Poirot · November 2018

Fonction bornée, intégration sur un domaine borné...

Simeon-urbain · November 2018

donc elle converge? bien que non continue en 0?

melpomène · November 2018

Poirot, je ne comprends pas ton argument : la fonction indicatrice des rationnels de $[0,1]$ n'est pas franchement Riemann intégrable sur $[0,1]$, bien que bornée.

Fin de partie · November 2018

Applique le changement de variable $y=\dfrac{1}{t}$.

Dom · November 2018

L'argument de l'indicatrice des rationnels est pertinent mais elle est quand même continue celle-ci, sauf en 0 mais où elle est bornée...

On peut aussi parler d'absolue convergence et en invoquant une quantité strictement croissante et majorée.

Math Coss · November 2018

L'argument de Poirot repose sur l'inégalité très simple $\int_a^b\bigl|\sin\frac1t\bigr|\mathrm{d}t\le(b-a)$ si $a\le b$, ce qui entraîne le critère de Cauchy pour l'intégrale de la valeur absolue de la fonction bornée et continue sur l'intervalle ouvert qu'il faut intégrer.

Poirot · November 2018

J'ai interprété la question pour l'intégration de Lebesgue. J'ai d'ailleurs oublié de préciser qu'il s'agissait d'une fonction mesurable.

Math Coss · November 2018

Pas facile à dire laquelle intéresse Siméon-urbain, ce qui n'a pas grande importance puisque l'intégrabilité au sens de Riemann entraîne celle au sens de Lebesgue. Il est naturel que ce soit un peu plus difficile à montrer (critère de Cauchy contre majoration $\int_0^1|f|\le M<\infty$ si $|f|\le M$, sachant que $\int_0^1|f|$ existe dans $[0,\infty]$).

Simeon-urbain · November 2018

Bonjour à tous
merci de ce que vous faites, l'intégrale est de Riemann, j'ai fait le changement de variable de "fin de partie" ceci semble converger.
Mais quelle est sa valeur ??

Amathoué · November 2018

Voir ici

Simeon-urbain · November 2018

merci beaucoup , je n'avais pas oser faire de DS , il prendre des risques ,merci de votre aide

bon w-e. cordialement S_U

Dom · November 2018

Une remarque :
En effet, dans le premier message, on ne sait pas a priori de quelle intégrale on parle.
Par contre, dans le second message, on parle d'une éventuelle convergence et il me semble que c'est la terminologie réservée à l'intégrale de Riemann

john_john · November 2018

Ici, il me semble tout indiqué de se placer sur l'intervalle semi-ouvert $]0\,,1]$ ; ainsi, cela définit une fonction continue intégrable au sens de Riemann, mais au sens généralisé, et donc aussi de Lebesgue.

Cordialement, j__j

Amathoué · November 2018

« Intégrable au sens généralisé de Riemann » n’implique pas intégrable au sens de Lebesgue. C’est « intégrable au sens de Riemann » (la vraie Riemann-intégrabilité) qui implique la Lebesgue-intégrabilité. Le dernier « donc » de j__j me surprend.

Dom · November 2018

En effet, lorsqu'il y a semi-convergence, c'est "la généralisée" de Riemann et c'est "non-Lebesgue".

Ici, c'est une généralisée de Riemann mais on a une absolue convergence donc c'est une bonne Lebesgue.

Amathoué · November 2018

Oui oui tout à fait Dom. Mais, en plus de l’implication inexacte, il me semblait important de préciser je pense qu’une « intégrale généralisée convergente » n’est pas de l’intégrabilité à proprement parler. C’est juste l’existence d’une limite.
Mais venant de j__j, je pense que c’est juste de l’inadvertance.

Math Coss · November 2018

Amathoué, je pense que tu te trompes. La fonction $t\mapsto\sin(t)/t$ a une intégrale (de Riemann) convergente sur $\R^+$ mais elle n'est pas intégrable (ni au sens de Riemann, ni au sens de Lebesgue). C'est une intégrale généralisée pour les deux théories.

Amathoué · November 2018

Où ai-je dit le contraire? Edit: j’ai relu, tu ne fais que confirmer ce que je dis...

Math Coss · November 2018

En effet, j'avais mal lu.

Alors, je ne comprends pas pourquoi le « donc » de j__j te surprend, disons si on comprend la condition « intégrable pour Riemann au sens généralisé » comme « l'intégrale généralisée de la valeur absolue est convergente ».

NB : Peut-être que le vocabulaire n'est pas optimal, vous ne croyez pas ?

Amathoué · November 2018

Eh bien selon ton même exemple, la fonction correspondante est « intégrable au sens généralisé de Riemann », mais je ne peux pas en conclure (d’où le « donc » inapproprié) qu’il y a Lebesgue-intégrabilité.
Oui, il y a certainement une insuffisance dans le vocabulaire utilisé.

Math Coss · November 2018

Là, ça m'échappe : si « intégrable au sens généralisé de Riemann » signifie « l'intégrale de la valeur absolue est convergente », la fonction $t\mapsto\sin(t)/t$ ne l'est pas.

Amathoué · November 2018

1- « intégrable au sens généralisé de Riemann » signifie bien l’intégrale de la fonction est convergente.
2- j’intervenais sur le caractère inexact du « donc » de j__j en général, car dans SON message , l’hypothèse de la convergence de l’intégrale de la valeur absolue n’y est pas.
3- Dom intervient en disant que c’est simplement vrai dans ce fil puisqu’il y a ici convergence de l’intégrale de la valeur absolue. Message que j’acsquiesce.
Edité deux fois: intro supprimée car non respecteuse, idem pour le point 4.

john_john · November 2018

En effet, ma formulation est ambiguë : je pensais à intégrable au sens généralisé de Riemann = <<l'intégrale de la valeur absolue est convergente>> mais non pas seulement semi-convergente. Personnellement, je ne dirais pas que $t\mapsto\dfrac{\sin t}{t}$ est intégrable sur $]0,\,+\infty[$, et il me semble même que cela ne s'est jamais dit.

Cordialement, j__j

Simeon-urbain · November 2018

merci à tous pour votre travail et les nombreuses idées qui me font progresser

cordialement. S_U

Convergence ?

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